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Die Mitternachtsformel einfach erklärt
Oft gefürchtet, aber häufig gebraucht: Hier lernst du die Mitternachtsformel einfach und verständlich kennen und meisterst sie sicher!
Definition
Erklärung
Die Mitternachtsformel ist eine Methode, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen. Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x)=ax^2+bx+c. Die Nullstellen sind die Punkte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet. Die Mitternachtsformel lautet:
Die Mitternachtsformel zur Berechnung der Nullstellen lautet:
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Schema
Vorgehen
Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der Mitternachtsformel zu berechnen, musst du zuerst die Werte für a, b und c aus der Funktionsgleichung bestimmen. Danach setzt du diese Werte in die Mitternachtsformel ein und berechnest die Lösungen.
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Beispiele
- Berechne die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x)=x^2-5x+6.
- Hier gilt: a=1, b=-5, c=6. Einsetzen in die Mitternachtsformel ergibt: x_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}. Daraus folgt: x_1=3 und x_2=2.
- Berechne die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x)=2x^2+4x+2.
- Hier gilt: a=2, b=4, c=2. Einsetzen ergibt: x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot2\cdot2}}{2\cdot2}. Daraus folgt: x_1=x_2=-1. Die Parabel berührt die x-Achse an genau einem Punkt.
Zusammenfassung
Merkkasten
- Die Mitternachtsformel dient zur Berechnung der Nullstellen quadratischer Funktionen.
- Die Diskriminante b^2-4ac entscheidet, ob es zwei, eine oder keine reelle Nullstelle gibt.
Üben
Aufgaben
- Berechne die Nullstellen der Funktion f(x)=x^2-4.
- Hier gilt: a=1, b=0, c=-4. Einsetzen ergibt: x_{1,2}=\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot1\cdot(-4)}}{2\cdot1}. Daraus folgt: x_1=2 und x_2=-2.
- Berechne die Nullstellen der Funktion f(x)=3x^2-6x+3.
- Hier gilt: a=3, b=-6, c=3. Einsetzen ergibt: x_{1,2}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot3\cdot3}}{2\cdot3}. Daraus folgt: x_1=x_2=1. Die Parabel berührt die x-Achse an genau einem Punkt.
- Berechne die Nullstellen der Funktion f(x)=x^2+2x+5.
- Hier gilt: a=1, b=2, c=5. Einsetzen ergibt: x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}. Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen. Die Parabel schneidet die x-Achse nicht.
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