Was sind lineare Ungleichungen?

Eine lineare Ungleichung ist eine Ungleichung, bei der die Variable x nur in der ersten Potenz vorkommt – zum Beispiel 3x + 5 < 11 . Sie funktioniert ähnlich wie eine lineare Gleichung, liefert aber als Ergebnis keine einzelne Zahl, sondern eine Lösungsmenge 𝕃 , die alle Zahlen enthält, für die die Ungleichung wahr ist. Lineare Ungleichungen helfen dir, Vergleiche zu beschreiben – etwa ab wann ein Handyvertrag günstiger ist als ein anderer.

Wie löst du eine Ungleichung graphisch?

Beim graphischen Lösen schreibst du die linke und die rechte Seite der Ungleichung je als eine Geradengleichung y = … . Dann zeichnest du beide Geraden in ein Koordinatensystem und findest ihren Schnittpunkt. Je nach Ungleichheitszeichen liest du ab, für welche x-Werte die eine Gerade unter oder über der anderen liegt – dieser x-Bereich ist deine Lösungsmenge.

Wann ist die Lösungsmenge einer Ungleichung leer?

Die Lösungsmenge ist leer ( 𝕃 = ∅ ), wenn bei der Umformung die Variable x wegfällt und eine immer falsche Aussage übrig bleibt – zum Beispiel −5 > 3 . Graphisch bedeutet das: Die beiden Geraden sind parallel, und die gesuchte Gerade liegt niemals auf der richtigen Seite. Es gibt dann keine reelle Zahl, die die Ungleichung erfüllt.

Wie findest du Ungleichungen zu einer gegebenen Lösungsmenge?

Schreibe zuerst die einfachste Ungleichung direkt aus der Mengenschreibweise ab – etwa x > −2 . Wende dann Äquivalenzumformungen an: addiere oder subtrahiere eine Zahl auf beiden Seiten, oder multipliziere mit einer positiven Zahl. Achtung: Multiplizierst du mit einer negativen Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Jede so erzeugte Ungleichung hat exakt dieselbe Lösungsmenge wie die ursprüngliche.

Lineare Ungleichungen lösen

Q: Was ist die Krokodil-Regel beim Lösen von Ungleichungen?

Die Krokodil-Regel ist die wichtigste Sonderregel beim Lösen von Ungleichungen: Immer wenn du beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch sie dividierst , musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen . Aus < wird > , aus ≤ wird ≥ und umgekehrt. Bei Addition, Subtraktion oder Multiplikation mit positiven Zahlen bleibt das Zeichen unverändert.

Q: Wie löst du eine Ungleichung graphisch?

Beim graphischen Lösen schreibst du die linke und die rechte Seite der Ungleichung je als eine Geradengleichung y = … . Dann zeichnest du beide Geraden in ein Koordinatensystem und findest ihren Schnittpunkt. Je nach Ungleichheitszeichen liest du ab, für welche x-Werte die eine Gerade unter oder über der anderen liegt – dieser x-Bereich ist deine Lösungsmenge.

Q: Wann ist die Lösungsmenge einer Ungleichung leer?

Die Lösungsmenge ist leer ( 𝕃 = ∅ ), wenn bei der Umformung die Variable x wegfällt und eine immer falsche Aussage übrig bleibt – zum Beispiel −5 > 3 . Graphisch bedeutet das: Die beiden Geraden sind parallel, und die gesuchte Gerade liegt niemals auf der richtigen Seite. Es gibt dann keine reelle Zahl, die die Ungleichung erfüllt.

Lineare Ungleichungen lösen ist eine der wichtigsten Fähigkeiten im Bereich der linearen Funktionen – und dabei gar nicht so schwer, wie es klingt. Stell dir vor, du vergleichst zwei Handyverträge: Vertrag A kostet 20 € Grundgebühr plus 10 Cent pro Gigabyte, Vertrag B hat keine Grundgebühr, aber 50 Cent pro Gigabyte. Ab wie vielen Gigabyte ist Vertrag A günstiger? Genau solche Fragen – wann ist eine Option besser, günstiger oder schneller als eine andere – löst du mit Ungleichungen. Das ist kein abstrakter Mathe-Kram, sondern ein echtes Werkzeug, um im Alltag klügere Entscheidungen zu treffen. In diesem Artikel lernst du alle drei Aufgabentypen: rechnerisch lösen, graphisch lösen und zu einer gegebenen Lösungsmenge passende Ungleichungen finden.

Schnellantwort

Eine lineare Ungleichung ist eine Ungleichung, bei der die Variable $x$ nur in der ersten Potenz vorkommt – zum Beispiel $3x + 5 < 11$ . Sie wird fast genauso wie eine lineare Gleichung gelöst: durch Umformungen, bis $x$ alleine steht. Der entscheidende Unterschied ist die Krokodil-Regel: Multiplizierst oder dividierst du mit einer negativen Zahl, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen. Das Ergebnis ist keine einzelne Zahl, sondern eine Lösungsmenge $\mathbb{L}$ .

Vorwissen

Bevor wir starten, solltest du diese Grundlagen draufhaben:

Terme umformen: Du solltest wissen, wie man Klammern auflöst und Terme zusammenfasst.
- Beispiel: $3 \cdot (x + 2) - 5$ wird zu $3x + 6 - 5$ , was $3x + 1$ ergibt.
Gleichungen lösen: Du solltest eine einfache lineare Gleichung nach x auflösen können.
- Beispiel: Um $2x + 5 = 11$ zu lösen, rechnest du $-5$ und dann $:2$ , um $x = 3$ zu erhalten.
Geraden zeichnen: Du solltest eine lineare Funktion in ein Koordinatensystem zeichnen können, z. B. indem du zwei Punkte berechnest.
- Beispiel: Für $y = 2x - 1$ kannst du die Punkte $(0|-1)$ und $(2|3)$ einzeichnen und verbinden.

Aufgabentyp 1: Ungleichungen rechnerisch lösen

Eine Ungleichung zu lösen, funktioniert fast genauso wie das Lösen einer Gleichung. Du formst sie so um, dass am Ende $x$ alleine auf einer Seite steht. Es gibt dabei aber eine extrem wichtige Regel, die neu ist:

Die Krokodil-Regel: Immer wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch sie dividierst, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen. Stell dir vor, das Krokodil (das Ungleichheitszeichen) erschreckt sich und dreht sich um!

Aus $<$ wird $>$
Aus $>$ wird $<$
Aus $\le$ wird $\ge$
Aus $\ge$ wird $\le$

Beispiel:

$-2x < 10$

Wir wollen nach $x$ auflösen, also teilen wir durch $-2$ . Da $-2$ negativ ist, dreht sich das Zeichen um:

$x > \frac{10}{-2}$

$x > -5$

Alle anderen Umformungen (addieren, subtrahieren, multiplizieren/dividieren mit positiven Zahlen) funktionieren genau wie bei Gleichungen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Terme vereinfachen: Löse alle Klammern auf und fasse die Terme auf beiden Seiten so weit wie möglich zusammen.
Variablen auf eine Seite bringen: Bringe alle Terme mit $x$ auf die eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite, indem du addierst oder subtrahierst.
Nach x auflösen (Die Krokodil-Regel!): Teile durch die Zahl, die vor dem $x$ steht. Achtung: Wenn diese Zahl negativ ist, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen!
Lösungsmenge aufschreiben: Gib das Ergebnis als Lösungsmenge $\mathbb{L}$ an. Die Lösungsmenge enthält alle Zahlen, die die ursprüngliche Ungleichung wahr machen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung $5 \cdot (2x + 1{,}5) + 1 < -7x$ rechnerisch.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Terme vereinfachen
Wir lösen zuerst die Klammer auf der linken Seite auf.

$5 \cdot (2x + 1{,}5) + 1 < -7x$

$10x + 7{,}5 + 1 < -7x$

$10x + 8{,}5 < -7x$
Schritt 2
Variablen auf eine Seite bringen
Wir bringen die $10x$ auf die rechte Seite, indem wir sie subtrahieren.

$10x + 8{,}5 < -7x \quad | -10x$

$8{,}5 < -17x$
Schritt 3
Nach x auflösen (Die Krokodil-Regel!)
Jetzt teilen wir durch $-17$ , um $x$ zu isolieren. Da $-17$ eine negative Zahl ist, müssen wir das Ungleichheitszeichen von $<$ zu $>$ umdrehen.

$8{,}5 < -17x \quad | :(-17)$

$\frac{8{,}5}{-17} > x$

$-0{,}5 > x$

Das ist dasselbe wie $x < -0{,}5$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Lösungsmenge aufschreiben
Die Lösungsmenge sind alle Zahlen, die kleiner als $-0{,}5$ sind.

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < -0{,}5 \}$

Beispiel 2

Aufgabe

Löse die Ungleichung $-3x + 7 \ge 16$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Terme vereinfachen
Die Terme sind bereits so einfach wie möglich.

$-3x + 7 \ge 16$
Schritt 2
Variablen auf eine Seite bringen
Wir bringen die 7 auf die rechte Seite.

$-3x + 7 \ge 16 \quad | -7$

$-3x \ge 9$
Schritt 3
Nach x auflösen (Die Krokodil-Regel!)
Wir teilen durch $-3$ . Da $-3$ negativ ist, drehen wir das Zeichen von $\ge$ zu $\le$ um.

$-3x \ge 9 \quad | :(-3)$

$x \le \frac{9}{-3}$

$x \le -3$
Schritt 4 · Ergebnis
Lösungsmenge aufschreiben

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \le -3 \}$

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge für $4(x - 2) < 2x + 10$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Terme vereinfachen
Wir lösen die Klammer auf.

$4x - 8 < 2x + 10$
Schritt 2
Variablen auf eine Seite bringen
Wir bringen $2x$ nach links und $-8$ nach rechts.

$4x - 8 < 2x + 10 \quad | -2x$

$2x - 8 < 10 \quad | +8$

$2x < 18$
Schritt 3
Nach x auflösen
Wir teilen durch 2. Da 2 positiv ist, ändert sich das Zeichen nicht.

$2x < 18 \quad | :2$

$x < 9$
Schritt 4 · Ergebnis
Lösungsmenge aufschreiben

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < 9 \}$

Beispiel 4

Aufgabe

Löse die Ungleichung $7x - 5 > 7x + 3$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Terme vereinfachen
Die Terme sind bereits vereinfacht.

$7x - 5 > 7x + 3$
Schritt 2
Variablen auf eine Seite bringen
Wir subtrahieren $7x$ auf beiden Seiten.

$7x - 5 > 7x + 3 \quad | -7x$

$-5 > 3$
Schritt 3
Ergebnis interpretieren
Die Variable $x$ ist weggefallen und wir haben die Aussage $-5 > 3$ . Diese Aussage ist immer falsch. Das bedeutet, es gibt keine Zahl für $x$ , die die Ungleichung wahr machen kann.
Schritt 4 · Ergebnis
Lösungsmenge aufschreiben
Die Lösungsmenge ist leer.

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{ \}$ oder $\mathbb{L} = \emptyset$

Beispiel 5

Aufgabe

Finde die Lösungsmenge von $2(x+3) \le 2x + 10$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Terme vereinfachen
Wir lösen die Klammer auf.

$2x + 6 \le 2x + 10$
Schritt 2
Variablen auf eine Seite bringen
Wir subtrahieren $2x$ auf beiden Seiten.

$2x + 6 \le 2x + 10 \quad | -2x$

$6 \le 10$
Schritt 3
Ergebnis interpretieren
Die Variable $x$ ist weggefallen und wir haben die Aussage $6 \le 10$ . Diese Aussage ist immer wahr. Das bedeutet, jede reelle Zahl für $x$ macht die Ungleichung wahr.
Schritt 4 · Ergebnis
Lösungsmenge aufschreiben
Die Lösungsmenge sind alle reellen Zahlen.

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \mathbb{R}$

Aufgabentyp 2: Ungleichungen graphisch lösen

Man kann Ungleichungen auch zeichnerisch lösen – und das ist eine besonders anschauliche Methode. Die Idee ist, die linke Seite und die rechte Seite der Ungleichung als zwei separate Geraden zu betrachten.

Nehmen wir die Ungleichung $2x - 3 < -0{,}5x + 1$ .

Wir definieren zwei Funktionen:

Gerade 1: $y = 2x - 3$
Gerade 2: $y = -0{,}5x + 1$

Die Frage „Wann ist $2x - 3 < -0{,}5x + 1$ ?" bedeutet graphisch: „Für welche x-Werte liegt die erste Gerade unterhalb der zweiten Gerade?"

Der Punkt, an dem sich die Geraden schneiden, ist die entscheidende Grenze. Links oder rechts von diesem Schnittpunkt ist eine Gerade über der anderen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zwei Geradengleichungen aufstellen: Schreibe die linke Seite der Ungleichung als eine Geradengleichung $y = \ldots$ und die rechte Seite als eine zweite Geradengleichung $y = \ldots$ .
Beide Geraden zeichnen: Berechne für jede Gerade zwei Punkte (z. B. mit einer Wertetabelle) und zeichne sie in ein Koordinatensystem.
Schnittpunkt finden: Markiere den Schnittpunkt der beiden Geraden. Der x-Wert dieses Punktes ist deine kritische Grenze.
Lösungsbereich ablesen: Schau dir die Ungleichung an. Wenn das Zeichen $<$ oder $\le$ ist, suchst du den x-Bereich, in dem die erste Gerade unter der zweiten liegt. Wenn das Zeichen $>$ oder $\ge$ ist, suchst du den x-Bereich, in dem die erste Gerade über der zweiten liegt.
Lösungsmenge angeben: Schreibe den abgelesenen x-Bereich als Lösungsmenge $\mathbb{L}$ auf.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung $2x - 3 < -0{,}5x + 1$ graphisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Zwei Geradengleichungen aufstellen
- Gerade 1: $y = 2x - 3$
- Gerade 2: $y = -0{,}5x + 1$
2
Schritt 2
Beide Geraden zeichnen
Wir berechnen für jede Gerade zwei Punkte:
- Für $y = 2x - 3$ : Wenn $x=0$ , ist $y=-3$ . Wenn $x=2$ , ist $y=1$ . Punkte: $(0|-3)$ und $(2|1)$ .
- Für $y = -0{,}5x + 1$ : Wenn $x=0$ , ist $y=1$ . Wenn $x=4$ , ist $y=-1$ . Punkte: $(0|1)$ und $(4|-1)$ .
Wir zeichnen die Geraden.

Zwei Geraden im Koordinatensystem mit Schnittpunkt
Schritt 3
Schnittpunkt finden
Aus der Zeichnung lesen wir den Schnittpunkt ab. Er liegt bei ungefähr $x = 1{,}6$ .
Schritt 4
Lösungsbereich ablesen
Wir suchen den Bereich, wo $2x - 3 < -0{,}5x + 1$ gilt, also wo die erste Gerade unter der zweiten liegt. Das ist für alle x-Werte links vom Schnittpunkt der Fall.
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Der Lösungsbereich ist $x < 1{,}6$ .

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < 1{,}6 \}$

Beispiel 2

Aufgabe

Löse die Ungleichung $x + 2 > -x + 4$ graphisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Zwei Geradengleichungen aufstellen
- Gerade 1: $y = x + 2$
- Gerade 2: $y = -x + 4$
2
Schritt 2
Beide Geraden zeichnen
- Für $y = x + 2$ : Punkte $(0|2)$ und $(2|4)$ .
- Für $y = -x + 4$ : Punkte $(0|4)$ und $(4|0)$ .
Zwei Geraden mit Schnittpunkt bei x gleich 1
Schritt 3
Schnittpunkt finden
Der Schnittpunkt liegt exakt bei $x = 1$ .
Schritt 4
Lösungsbereich ablesen
Wir suchen, wo die erste Gerade über der zweiten liegt (wegen $>$ ). Das ist für alle x-Werte rechts vom Schnittpunkt der Fall.
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 1 \}$

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Lösungsmenge von $2 \le 0{,}5x + 1$ graphisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Zwei Geradengleichungen aufstellen
- Gerade 1: $y = 2$ (eine waagerechte Gerade)
- Gerade 2: $y = 0{,}5x + 1$
2
Schritt 2
Beide Geraden zeichnen
- Für $y = 2$ : Eine horizontale Linie auf der Höhe $y=2$ .
- Für $y = 0{,}5x + 1$ : Punkte $(0|1)$ und $(2|2)$ .
Waagerechte Gerade und ansteigende Gerade mit Schnittpunkt
Schritt 3
Schnittpunkt finden
Der Schnittpunkt liegt bei $x = 2$ .
Schritt 4
Lösungsbereich ablesen
Wir suchen, wo die erste Gerade unter oder auf der zweiten liegt (wegen $\le$ ). Das ist für alle x-Werte rechts vom Schnittpunkt (einschließlich des Schnittpunkts) der Fall.
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \ge 2 \}$

Beispiel 4

Aufgabe

Löse $x + 3 < x + 1$ graphisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Zwei Geradengleichungen aufstellen
- Gerade 1: $y = x + 3$
- Gerade 2: $y = x + 1$
Schritt 2
Beide Geraden zeichnen
Beide Geraden haben die gleiche Steigung ( $m=1$ ). Sie sind parallel.

Zwei parallele Geraden ohne Schnittpunkt
Schritt 3
Schnittpunkt finden
Parallele Geraden schneiden sich nie. Es gibt keinen Schnittpunkt.
Schritt 4
Lösungsbereich ablesen
Wir suchen, wo die erste Gerade unter der zweiten liegt. Wenn wir die Graphen betrachten, sehen wir, dass die Gerade $y = x+3$ immer über der Gerade $y = x+1$ liegt. Es gibt also keinen x-Wert, der die Bedingung erfüllt.
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Die Lösungsmenge ist leer.

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \{ \}$

Beispiel 5

Aufgabe

Löse $2x - 1 \ge 2x - 1$ graphisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Zwei Geradengleichungen aufstellen
- Gerade 1: $y = 2x - 1$
- Gerade 2: $y = 2x - 1$
Schritt 2
Beide Geraden zeichnen
Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.

Zwei identische Geraden übereinander im Koordinatensystem
Schritt 3
Schnittpunkt finden
Die Geraden sind identisch, sie liegen also überall aufeinander. Jeder Punkt ist ein „Schnittpunkt".
Schritt 4
Lösungsbereich ablesen
Wir suchen, wo die erste Gerade über oder auf der zweiten liegt. Da die Geraden identisch sind, ist die Bedingung „auf" für alle x-Werte erfüllt.
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Die Lösungsmenge sind alle reellen Zahlen.

Ergebnis:

$\mathbb{L} = \mathbb{R}$

Aufgabentyp 3: Ungleichungen zu einer Lösungsmenge finden

Manchmal hast du die Antwort (die Lösungsmenge) und musst die passende Frage (die Ungleichung) dazu finden. Das ist wie „Jeopardy" für Mathe!

Der Trick ist, bei der einfachsten möglichen Ungleichung zu starten und sie dann durch erlaubte Umformungen zu „verkleiden".

Wenn die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \{ x \mid x > -2 \}$ ist, dann ist die einfachste Ungleichung, die du aufschreiben kannst, genau das:

$x > -2$

Von hier aus kannst du neue, kompliziertere Ungleichungen erstellen, die aber genau dieselbe Lösungsmenge haben. Du kannst zum Beispiel:

Auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren: $x + 5 > -2 + 5 \to x + 5 > 3$
Beide Seiten mit der gleichen positiven Zahl multiplizieren: $x \cdot 3 > -2 \cdot 3 \to 3x > -6$

Alle diese Ungleichungen ( $x > -2$ , $x+5 > 3$ , $3x > -6$ ) sehen unterschiedlich aus, haben aber exakt die gleiche Lösungsmenge.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Einfachste Ungleichung notieren: Schreibe die Ungleichung direkt aus der Mengenschreibweise ab. Das ist deine erste, einfachste Lösung.
Eine Äquivalenzumformung wählen: Denke dir eine einfache Rechenoperation aus, die du auf beide Seiten anwenden kannst – z. B. addiere eine Zahl, subtrahiere eine Zahl, multipliziere mit einer positiven Zahl oder dividiere durch eine positive Zahl.
Umformung durchführen: Wende die gewählte Operation auf beide Seiten der Ungleichung an und vereinfache das Ergebnis. Das ist deine zweite Ungleichung.
Weitere Umformungen finden: Wiederhole die Schritte 2 und 3 mit anderen Operationen, um so viele Ungleichungen zu finden, wie du brauchst.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Wir betrachten die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{ x \mid x > -2\}$ . Gib drei verschiedene Ungleichungen an, welche $\mathbb{L}$ als Lösungsmenge besitzen.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Einfachste Ungleichung notieren
Die einfachste Ungleichung ist direkt aus der Lösungsmenge ablesbar.

1. Ungleichung: $x > -2$
Schritt 2 & 3 · Ergebnis
Umformungen durchführen
Wir nehmen unsere erste Ungleichung $x > -2$ und formen sie um.

Operation: Multipliziere mit 3 (positiv)

$x > -2 \quad | \cdot 3$

$3x > -6$

2. Ungleichung: $3x > -6$

Operation: Addiere 5

Wir nehmen wieder die einfachste Form $x > -2$ .

$x > -2 \quad | + 5$

$x + 5 > -2 + 5$

$x + 5 > 3$

3. Ungleichung: $x + 5 > 3$

Ergebnis:

Drei gültige Ungleichungen: $x > -2$ , $3x > -6$ , $x + 5 > 3$

Beispiel 2

Aufgabe

Gib drei Ungleichungen an, die die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{ x \mid x \le 4\}$ haben.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Einfachste Ungleichung notieren
1. Ungleichung: $x \le 4$
Schritt 2 & 3 · Ergebnis
Umformungen durchführen
Operation: Subtrahiere 10

$x \le 4 \quad | - 10$

$x - 10 \le -6$

2. Ungleichung: $x - 10 \le -6$

Operation: Multipliziere mit -2 (negativ!)

Wir nehmen $x \le 4$ . Da wir mit einer negativen Zahl multiplizieren, müssen wir das Zeichen umdrehen!

$x \le 4 \quad | \cdot (-2)$

$-2x \ge -8$

3. Ungleichung: $-2x \ge -8$

Ergebnis:

Drei gültige Ungleichungen: $x \le 4$ , $x - 10 \le -6$ , $-2x \ge -8$

Beispiel 3

Aufgabe

Finde drei Ungleichungen für die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{ x \mid x < 0\}$ .

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Einfachste Ungleichung notieren
1. Ungleichung: $x < 0$
Schritt 2 & 3 · Ergebnis
Umformungen durchführen
Operation: Addiere 7

$x < 0 \quad | + 7$

$x + 7 < 7$

2. Ungleichung: $x + 7 < 7$

Operation: Dividiere durch 5 (positiv)

$x < 0 \quad | : 5$

$\frac{x}{5} < 0$

3. Ungleichung: $\frac{x}{5} < 0$

Ergebnis:

Drei gültige Ungleichungen: $x < 0$ , $x + 7 < 7$ , $\frac{x}{5} < 0$

Beispiel 4

Aufgabe

Gib drei Ungleichungen an, die die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{ x \mid x \ge -1{,}5\}$ haben.

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Einfachste Ungleichung notieren
1. Ungleichung: $x \ge -1{,}5$
Schritt 2 & 3 · Ergebnis
Umformungen durchführen
Operation: Multipliziere mit 2

$x \ge -1{,}5 \quad | \cdot 2$

$2x \ge -3$

2. Ungleichung: $2x \ge -3$

Operation: Addiere 3 (zur zweiten Ungleichung)

$2x \ge -3 \quad | + 3$

$2x + 3 \ge 0$

3. Ungleichung: $2x + 3 \ge 0$

Ergebnis:

Drei gültige Ungleichungen: $x \ge -1{,}5$ , $2x \ge -3$ , $2x + 3 \ge 0$

Beispiel 5

Aufgabe

Finde drei Ungleichungen für die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\mathbb{R}$ (alle reellen Zahlen).

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Eine wahre Aussage aufschreiben
Wir starten mit einer einfachen wahren Aussage, z. B. $5 > 3$ .
Schritt 2
x-Terme hinzufügen, die sich aufheben
Wir addieren auf beiden Seiten den gleichen $x$ -Term. Er wird sich später wieder aufheben.

$x + 5 > x + 3$

1. Ungleichung: $x + 5 > x + 3$
Schritt 3 · Ergebnis
Weitere Umformungen
Wir können auch mit einer wahren Aussage starten und diese verändern.

Start: $10 \ge 0$

Addiere $-2x$ auf beiden Seiten:

$10 - 2x \ge -2x$

2. Ungleichung: $10 - 2x \ge -2x$

Start: $x = x$

Addiere eine wahre Ungleichung, z. B. $1 < 2$ :

$x + 1 < x + 2$

3. Ungleichung: $x + 1 < x + 2$

Ergebnis:

Drei gültige Ungleichungen: $x + 5 > x + 3$ , $10 - 2x \ge -2x$ , $x + 1 < x + 2$

Wichtige Erkenntnisse

Ungleichungen werden fast wie Gleichungen gelöst: addieren, subtrahieren, etc. auf beiden Seiten.
Die wichtigste Regel: Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen ( $<$ wird zu $>$ , $\le$ wird zu $\ge$ usw.).
Graphisch lösen bedeutet, beide Seiten der Ungleichung als Geraden zu zeichnen und zu schauen, in welchem x-Bereich eine Gerade über oder unter der anderen liegt.
Die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ gibt alle Zahlen an, für die die Ungleichung stimmt.

Lineare Ungleichungen lösen – einfach erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Ungleichungen rechnerisch lösen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Ungleichungen graphisch lösen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Ungleichungen zu einer Lösungsmenge finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

Schneller zu besseren Mathe-Noten — starte heute kostenlos.