Was ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen?

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gleichung, die genau zwei verschiedene Variablen enthält – meistens x und y – und in der diese Variablen nur „einfach" vorkommen. Die typische Form lautet ax + by = c , zum Beispiel 3x + 2y = 8 . Solche Gleichungen sind grundlegende Werkzeuge in der Mathematik und tauchen überall dort auf, wo zwei unbekannte Größen zusammenhängen.

Wie erkennst du, ob eine Gleichung linear ist?

Prüfe zwei Regeln: Erstens müssen genau zwei verschiedene Variablen vorkommen. Zweitens muss die Gleichung linear sein – das heißt, es dürfen keine Potenzen wie x² oder y³ auftreten, und die Variablen dürfen nicht miteinander multipliziert werden (kein x · y ). Erfüllt eine Gleichung beide Regeln, ist sie eine lineare Gleichung mit zwei Variablen.

Wie überprüfst du, ob ein Zahlenpaar eine Lösung ist?

Gehe in vier Schritten vor: 1. Lies aus dem Paar (x|y) ab, welche Zahl zu x und welche zu y gehört. 2. Setze beide Werte in die Gleichung ein – am besten in Klammern. 3. Berechne die linke Seite der Gleichung. 4. Vergleiche das Ergebnis mit der rechten Seite: Sind beide Seiten gleich, ist das Zahlenpaar eine Lösung; sind sie verschieden, nicht.

Warum ist x mal y in einer linearen Gleichung verboten?

Das Produkt zweier Variablen wie x · y macht eine Gleichung nichtlinear, weil der Graph dieser Beziehung keine Gerade mehr ist. Lineare Gleichungen heißen so, weil ihre Lösungsmengen im Koordinatensystem stets eine Gerade bilden. Sobald Variablen miteinander multipliziert werden, entsteht eine gekrümmte Kurve – und die Gleichung verlässt den Bereich der linearen Algebra.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Q: Was ist eine Lösung einer Gleichung mit zwei Variablen?

Eine Lösung ist kein einzelner Wert, sondern immer ein Zahlenpaar (x|y) . Es besteht aus einem Wert für x und einem Wert für y , die zusammen die Gleichung zu einer wahren Aussage machen. Zum Beispiel ist (2|5) eine Lösung von 3x + y = 11 , weil 3 · 2 + 5 = 11 stimmt.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen klingen erstmal abstrakt – aber sie sind ein grundlegendes Werkzeug, wie ein Schraubenschlüssel für einen Mechaniker. Du wirst dieses Werkzeug immer wieder brauchen, um später spannendere Dinge zu bauen, wie zum Beispiel das Berechnen von Schnittpunkten von Wegen oder das Lösen von komplexen Problemen. Wenn du die zwei einfachen Regeln draufhast, die wir dir hier zeigen, sind diese Aufgaben für dich in Zukunft geschenkte Punkte in jeder Prüfung.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Variable: Ein Buchstabe (wie x oder y), der als Platzhalter für eine unbekannte Zahl dient.
- Beispiel: In der Gleichung $x + 5 = 8$ ist $x$ die Variable. Ihr Wert ist 3.
Gleichung: Eine mathematische Aussage, die besagt, dass zwei Ausdrücke gleich sind. Man erkennt sie immer am Gleichheitszeichen (=).
- Beispiel: $4 \cdot 3 = 12$ ist eine Gleichung.
Einen Wert einsetzen: Das Ersetzen einer Variablen durch eine konkrete Zahl.
- Beispiel: Wenn wir für $x$ die Zahl 2 in den Ausdruck $3x + 1$ einsetzen, erhalten wir $3 \cdot 2 + 1 = 7$ .

Aufgabentyp 1: Lineare Gleichung mit zwei Variablen erkennen

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen muss zwei einfache Regeln erfüllen. Stell dir vor, du bist ein Türsteher für einen Club. Du lässt nur Gleichungen rein, die beide Kriterien erfüllen:

Regel 1: Es müssen genau zwei verschiedene Variablen vorkommen. Meistens sind das $x$ und $y$ . Eine Variable ist zu wenig, drei sind zu viele.

Regel 2: Die Gleichung muss linear sein. Das bedeutet, die Variablen dürfen nur „einfach" vorkommen. Es gibt zwei klare Verbote:

Keine Potenzen: Variablen dürfen nicht hoch 2, hoch 3 usw. sein. Ein $y^2$ oder $x^3$ ist ein Rauswurf-Grund.
Keine Produkte von Variablen: Die Variablen dürfen nicht miteinander multipliziert werden. Ein $x \cdot y$ ist also nicht erlaubt.

Eine typische lineare Gleichung mit zwei Variablen sieht so aus: $ax + by = c$ . Zum Beispiel $3x + 2y = 8$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Variablen zählen: Zähle, wie viele verschiedene Buchstaben (Variablen) in der Gleichung vorkommen. Sind es genau zwei? Wenn nicht, bist du fertig und es ist keine lineare Gleichung mit zwei Variablen.
Linearität prüfen (Verbots-Check): Überprüfe, ob die Gleichung linear ist. Suche gezielt nach den beiden verbotenen Dingen: Gibt es eine Variable mit einer Hochzahl (z.B. $x^2, y^3$ )? Werden zwei Variablen miteinander multipliziert (z.B. $x \cdot y$ )?
Entscheidung treffen: Wenn die Antwort auf Schritt 1 „Ja, genau zwei" ist UND du in Schritt 2 keine Verbote gefunden hast, dann ist es eine lineare Gleichung mit zwei Variablen. In allen anderen Fällen ist es keine.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Entscheide, ob $5x - 2y = 9$ eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Variablen zählen
Die Gleichung enthält die Variablen $x$ und $y$ . Das sind genau zwei verschiedene Variablen. ✅
2
Schritt 2
Linearität prüfen
- Es gibt keine Potenzen wie $x^2$ oder $y^3$ .
- Die Variablen $x$ und $y$ werden nicht miteinander multipliziert.
Die Gleichung ist also linear. ✅
Schritt 3 · Ergebnis
Entscheidung treffen
Beide Regeln sind erfüllt.

Ergebnis:

Ja, dies ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen.

Beispiel 2

Aufgabe

Entscheide, ob $3x + y^2 = 4$ eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Variablen zählen
Die Gleichung enthält die Variablen $x$ und $y$ . Das sind genau zwei verschiedene Variablen. ✅
2
Schritt 2
Linearität prüfen
- Die Gleichung enthält den Term $y^2$ . Das ist eine Potenz und somit nicht linear. ❌
Schritt 3 · Ergebnis
Entscheidung treffen
Regel 2 ist nicht erfüllt.

Ergebnis:

Nein, dies ist keine lineare Gleichung mit zwei Variablen.

Beispiel 3

Aufgabe

Entscheide, ob $7x - 12 = 0$ eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Variablen zählen
Die Gleichung enthält nur die Variable $x$ . Das ist nur eine Variable, nicht zwei. ❌
Schritt 2
Linearität prüfen
Dieser Schritt ist nicht mehr nötig, da Regel 1 bereits verletzt wurde.
Schritt 3 · Ergebnis
Entscheidung treffen
Regel 1 ist nicht erfüllt.

Ergebnis:

Nein, dies ist keine lineare Gleichung mit zwei Variablen.

Beispiel 4

Aufgabe

Entscheide, ob $x \cdot y + 3x = 11$ eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Variablen zählen
Die Gleichung enthält die Variablen $x$ und $y$ . Das sind genau zwei verschiedene Variablen. ✅
2
Schritt 2
Linearität prüfen
- Die Gleichung enthält den Term $x \cdot y$ . Hier werden zwei Variablen miteinander multipliziert, das ist nicht linear. ❌
Schritt 3 · Ergebnis
Entscheidung treffen
Regel 2 ist nicht erfüllt.

Ergebnis:

Nein, dies ist keine lineare Gleichung mit zwei Variablen.

Beispiel 5

Aufgabe

Entscheide, ob $4x + 2y = 8 + 4x$ eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Variablen zählen
Bevor wir die Regeln anwenden, vereinfachen wir die Gleichung. Wir können auf beiden Seiten $4x$ abziehen:

$4x + 2y - 4x = 8 + 4x - 4x$

$2y = 8$

Jetzt prüfen wir die vereinfachte Gleichung $2y = 8$ .

Die vereinfachte Gleichung enthält nur noch die Variable $y$ . Das ist nur eine Variable. ❌
Schritt 2
Linearität prüfen
Nicht mehr nötig.
Schritt 3 · Ergebnis
Entscheidung treffen
Nach der Vereinfachung ist Regel 1 nicht mehr erfüllt.

Ergebnis:

Nein, dies ist keine lineare Gleichung mit zwei Variablen.

Aufgabentyp 2: Eine Lösung überprüfen

Eine Lösung für eine Gleichung mit zwei Variablen ist nicht nur eine einzelne Zahl, sondern immer ein Zahlenpaar. Dieses Paar besteht aus einem Wert für $x$ und einem Wert für $y$ , die zusammen die Gleichung „wahr" machen.

Man schreibt so ein Zahlenpaar oft als Punkt, z.B. $(4|3)$ . Dabei steht die erste Zahl immer für $x$ und die zweite Zahl immer für $y$ .

Um zu überprüfen, ob ein Zahlenpaar eine Lösung ist, machen wir eine Probe: Wir setzen die Zahlen für die Variablen in die Gleichung ein und schauen, ob eine wahre Aussage entsteht (z.B. $10 = 10$ ).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Werte identifizieren: Schaue dir das Zahlenpaar $(x|y)$ an. Notiere, welche Zahl zu $x$ und welche zu $y$ gehört.
Werte in die Gleichung einsetzen: Nimm die ursprüngliche Gleichung und ersetze jeden Buchstaben ( $x$ und $y$ ) durch die entsprechende Zahl aus dem Paar. Setze die Zahlen am besten in Klammern, um Rechenfehler zu vermeiden.
Linke Seite ausrechnen: Berechne den Wert der linken Seite der Gleichung. Beachte die Rechenregeln (Punkt vor Strich).
Ergebnis vergleichen: Vergleiche das Ergebnis aus Schritt 3 mit der Zahl auf der rechten Seite der Gleichung. Wenn beide Seiten gleich sind (z.B. $5 = 5$ ), ist die Aussage wahr – das Zahlenpaar ist eine Lösung. ✅ Wenn die Seiten unterschiedlich sind (z.B. $5 = 7$ ), ist die Aussage falsch – das Zahlenpaar ist keine Lösung. ❌

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Überprüfe, ob das Zahlenpaar $(2|5)$ eine Lösung der Gleichung $3x + y = 11$ ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Werte identifizieren
Aus dem Paar $(2|5)$ lesen wir ab: $x = 2$ und $y = 5$ .
Schritt 2
Werte in die Gleichung einsetzen
Wir setzen die Werte in $3x + y = 11$ ein:

$3 \cdot (2) + (5) = 11$
Schritt 3
Linke Seite ausrechnen
$6 + 5 = 11$

$11 = 11$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vergleichen
Die Aussage $11 = 11$ ist wahr. ✅

Ergebnis:

Ja, das Zahlenpaar $(2|5)$ ist eine Lösung der Gleichung.

Beispiel 2

Aufgabe

Überprüfe, ob das Zahlenpaar $(1|4)$ eine Lösung der Gleichung $5x - 2y = -1$ ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Werte identifizieren
Aus dem Paar $(1|4)$ lesen wir ab: $x = 1$ und $y = 4$ .
Schritt 2
Werte in die Gleichung einsetzen
Wir setzen die Werte in $5x - 2y = -1$ ein:

$5 \cdot (1) - 2 \cdot (4) = -1$
Schritt 3
Linke Seite ausrechnen
$5 - 8 = -1$

$-3 = -1$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vergleichen
Die Aussage $-3 = -1$ ist falsch. ❌

Ergebnis:

Nein, das Zahlenpaar $(1|4)$ ist keine Lösung der Gleichung.

Beispiel 3

Aufgabe

Überprüfe, ob das Zahlenpaar $(-3|2)$ eine Lösung der Gleichung $y - x = 5$ ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Werte identifizieren
Aus dem Paar $(-3|2)$ lesen wir ab: $x = -3$ und $y = 2$ .
Schritt 2
Werte in die Gleichung einsetzen
Wir setzen die Werte in $y - x = 5$ ein. Achtung bei negativen Zahlen!

$(2) - (-3) = 5$
Schritt 3
Linke Seite ausrechnen
Minus und Minus ergibt Plus:

$2 + 3 = 5$

$5 = 5$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vergleichen
Die Aussage $5 = 5$ ist wahr. ✅

Ergebnis:

Ja, das Zahlenpaar $(-3|2)$ ist eine Lösung der Gleichung.

Beispiel 4

Aufgabe

Überprüfe, ob das Zahlenpaar $(4|0)$ eine Lösung der Gleichung $2.5x + 7y = 10$ ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Werte identifizieren
Aus dem Paar $(4|0)$ lesen wir ab: $x = 4$ und $y = 0$ .
Schritt 2
Werte in die Gleichung einsetzen
Wir setzen die Werte in $2.5x + 7y = 10$ ein:

$2.5 \cdot (4) + 7 \cdot (0) = 10$
Schritt 3
Linke Seite ausrechnen
$10 + 0 = 10$

$10 = 10$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vergleichen
Die Aussage $10 = 10$ ist wahr. ✅

Ergebnis:

Ja, das Zahlenpaar $(4|0)$ ist eine Lösung der Gleichung.

Beispiel 5

Aufgabe

Überprüfe, ob das Zahlenpaar $(5|1)$ eine Lösung der Gleichung $x - 3y = 8$ ist.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Werte identifizieren
Aus dem Paar $(5|1)$ lesen wir ab: $x = 5$ und $y = 1$ .
Schritt 2
Werte in die Gleichung einsetzen
Wir setzen die Werte in $x - 3y = 8$ ein:

$(5) - 3 \cdot (1) = 8$
Schritt 3
Linke Seite ausrechnen
$5 - 3 = 8$

$2 = 8$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis vergleichen
Die Aussage $2 = 8$ ist falsch. ❌

Ergebnis:

Nein, das Zahlenpaar $(5|1)$ ist keine Lösung der Gleichung.

Wichtige Erkenntnisse

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen hat genau zwei verschiedene Variablen (z.B. $x$ und $y$ ).
Die Variablen dürfen weder Potenzen (wie $x^2$ ) haben, noch miteinander multipliziert werden (wie $x \cdot y$ ).
Eine Lösung ist immer ein Zahlenpaar $(x|y)$ , das die Gleichung zu einer wahren Aussage macht.
Um eine Lösung zu überprüfen, setzt du die Zahlen für $x$ und $y$ in die Gleichung ein und rechnest aus.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Lineare Gleichung mit zwei Variablen erkennen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Eine Lösung überprüfen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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