Was sind lineare Gleichungen mit ganzen Zahlen?

Eine lineare Gleichung mit ganzen Zahlen ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Zahl (z. B. x oder □ ) gesucht wird und alle Zahlen ganze Zahlen sind – also positive Zahlen, negative Zahlen oder die Null ohne Kommaanteil. Ein Beispiel: □ + 30 = −70 . Dein Ziel ist es, die unbekannte Zahl zu finden, indem du die Gleichung mithilfe von Umkehroperationen umformst.

Wie wendest du die Umkehroperation beim Gleichung lösen an?

Die Umkehroperation macht eine Rechenart rückgängig: Die Umkehroperation von Addition ist Subtraktion – und umgekehrt. Siehst du in einer Gleichung zum Beispiel □ + 30 = −70 , ziehst du auf beiden Seiten 30 ab. So bleibt links nur □ übrig, und rechts rechnest du das Ergebnis aus: □ = −70 − 30 = −100 .

Was ist das Rückwärtsrechnen und wann brauchst du es?

Rückwärtsrechnen ist eine Methode für Sachaufgaben, bei denen du das Endergebnis kennst und den ursprünglichen Startwert suchst. Du startest beim Endergebnis, kehrst die Reihenfolge aller Schritte um und führst jeweils die Umkehroperation durch. War die letzte Aktion zum Beispiel +10 , rechnest du −10 . So arbeitest du dich Schritt für Schritt zurück zum Startwert.

Warum muss ich auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Operation durchführen?

Eine Gleichung funktioniert wie eine Waage im Gleichgewicht : Beide Seiten haben denselben Wert. Wenn du nur auf einer Seite eine Zahl addierst oder subtrahierst, kippt die Waage – die Gleichung stimmt nicht mehr. Deshalb musst du jede Operation auf beiden Seiten gleichzeitig durchführen, damit das Gleichgewicht erhalten bleibt und die Gleichung weiterhin gültig ist.

Wie überprüfst du, ob deine Lösung einer Gleichung richtig ist?

Nachdem du die unbekannte Zahl berechnet hast, setzt du sie in die ursprüngliche Gleichung ein und überprüfst, ob beide Seiten denselben Wert ergeben. Zum Beispiel: Wenn du □ = −100 für □ + 30 = −70 gefunden hast, prüfst du −100 + 30 = −70 . Stimmt die Aussage, ist deine Lösung korrekt. Diese Probe ist optional, aber sehr empfehlenswert.

Lineare Gleichungen mit ganzen Zahlen

Lineare Gleichungen mit ganzen Zahlen lösen ist eine der wichtigsten Grundlagen in der Mathematik – und gar nicht so schwer, wie es klingt. Stell dir vor, du bist ein Detektiv. Dein Fall: Eine geheimnisvolle, unbekannte Zahl hat sich in einer Gleichung versteckt. Deine Mission ist es, sie zu entlarven! Das Lösen von Gleichungen ist wie das Knacken eines Codes. Jede Zahl und jedes Rechenzeichen ist ein Hinweis. Wenn du die Regeln kennst, kannst du jeden Code knacken und jede fehlende Zahl finden. Das ist keine komplizierte Magie, sondern eine simple Technik, die dir in Mathe immer wieder begegnen wird. Sie ist das absolute Handwerkszeug, um schwierigere Probleme zu lösen.

Schnellantwort

Lineare Gleichungen mit ganzen Zahlen löst du, indem du die unbekannte Zahl (oft als $x$ oder $\square$ geschrieben) durch die passende Umkehroperation allein auf eine Seite der Gleichung bringst. Was du auf einer Seite der Gleichung tust, musst du auch auf der anderen Seite tun – so bleibt die Gleichung im Gleichgewicht. Bei Sachaufgaben mit bekanntem Endergebnis hilft das Rückwärtsrechnen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz drei wichtige Grundlagen:

Ganze Zahlen: Das sind alle positiven Zahlen, negativen Zahlen und die Null. Sie haben keine Kommas.
- Beispiel: $-10, -2, 0, 5, 100$ sind ganze Zahlen. $3{,}5$ ist keine ganze Zahl.
Rechnen mit negativen Zahlen:
- Beispiel 1 (Negativ - Positiv): Wenn du von einer negativen Zahl noch etwas abziehst, wird sie noch negativer. Stell dir vor, es sind $-5°C$ und es wird um $10°C$ kälter: $-5 - 10 = -15°C$ .
- Beispiel 2 (Negativ + Positiv): Wenn du zu einer negativen Zahl etwas addierst, bewegst du dich in Richtung Null. Bei $-20€$ Schulden bekommst du $15€$ Taschengeld: $-20 + 15 = -5€$ Schulden bleiben übrig.
Gleichung: Eine Gleichung ist wie eine Waage, die im Gleichgewicht ist. Was auf der linken Seite steht, hat genau den gleichen Wert wie das auf der rechten Seite.
- Beispiel: $2 + 5 = 7$ . Beide Seiten haben den Wert 7.

Aufgabentyp 1: Fehlende Zahl in einfachen Gleichungen finden

Wenn in einer Gleichung eine Zahl fehlt (oft durch ein Kästchen $\square$ oder ein $x$ dargestellt), ist unser Ziel, diese unbekannte Zahl herauszufinden. Der Trick dabei ist die Umkehroperation.

Jede Rechenart hat eine Gegen-Operation, die sie rückgängig macht:

Die Umkehroperation von Addition (+) ist die Subtraktion (-).
Die Umkehroperation von Subtraktion (-) ist die Addition (+).

Um die unbekannte Zahl allein auf einer Seite der Gleichung zu haben, wenden wir die passende Umkehroperation an. Wichtig ist: Eine Gleichung ist wie eine Waage. Was du auf der einen Seite tust, musst du auch auf der anderen Seite tun, damit sie im Gleichgewicht bleibt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gleichung analysieren: Schau dir die Gleichung an. Welche Zahl steht bei der Unbekannten ( $\square$ ) und mit welcher Rechenart ist sie verbunden (+ oder -)?
Umkehroperation anwenden: Um die Zahl auf der Seite der Unbekannten zu entfernen, wende die Umkehroperation auf beiden Seiten der Gleichung an. Steht dort $+ 50$ , rechnest du auf beiden Seiten $- 50$ . Steht dort $- 30$ , rechnest du auf beiden Seiten $+ 30$ .
Ergebnis ausrechnen: Rechne die neue Aufgabe auf der anderen Seite aus. Das Ergebnis ist der Wert für die unbekannte Zahl.
Probe (optional, aber empfohlen): Setze deine gefundene Zahl in die ursprüngliche Gleichung ein und prüfe, ob die Gleichung stimmt. Das ist der beste Weg, um sicherzugehen, dass du richtig gerechnet hast.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ermittle die fehlende Zahl: $\square + 30 = -70$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung analysieren
Neben der unbekannten Zahl steht eine $+ 30$ .
Schritt 2
Umkehroperation anwenden
Die Umkehroperation von $+ 30$ ist $- 30$ . Wir ziehen also auf beiden Seiten 30 ab.

$\square + 30 - 30 = -70 - 30$

Auf der linken Seite heben sich $+ 30$ und $- 30$ gegenseitig auf.

$\square = -70 - 30$
Schritt 3
Ergebnis ausrechnen
Wir rechnen die rechte Seite aus.

$\square = -100$
Schritt 4 · Ergebnis
Probe
Wir setzen $-100$ in die ursprüngliche Gleichung ein:

$-100 + 30 = -70$

$-70 = -70$

Ergebnis:

Die Aussage ist wahr. Unsere Lösung ist korrekt.

Beispiel 2

Aufgabe

Ermittle die fehlende Zahl: $\square - 25 = -100$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung analysieren
Neben der unbekannten Zahl steht eine $- 25$ .
Schritt 2
Umkehroperation anwenden
Die Umkehroperation von $- 25$ ist $+ 25$ . Wir addieren also auf beiden Seiten 25.

$\square - 25 + 25 = -100 + 25$

Auf der linken Seite bleibt nur das Kästchen übrig.

$\square = -100 + 25$
Schritt 3
Ergebnis ausrechnen
Wir rechnen die rechte Seite aus.

$\square = -75$
Schritt 4 · Ergebnis
Probe
Wir setzen $-75$ in die ursprüngliche Gleichung ein:

$-75 - 25 = -100$

$-100 = -100$

Ergebnis:

Die Aussage ist wahr. Die Lösung stimmt.

Beispiel 3

Aufgabe

Ermittle die fehlende Zahl: $-50 + \square = 110$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung analysieren
Neben der unbekannten Zahl steht eine $-50$ .
Schritt 2
Umkehroperation anwenden
Die Umkehroperation von $-50$ ist $+ 50$ . Wir addieren auf beiden Seiten 50.

$-50 + 50 + \square = 110 + 50$

Auf der linken Seite bleibt nur das Kästchen übrig.

$\square = 110 + 50$
Schritt 3
Ergebnis ausrechnen
Wir rechnen die rechte Seite aus.

$\square = 160$
Schritt 4 · Ergebnis
Probe
Wir setzen $160$ in die ursprüngliche Gleichung ein:

$-50 + 160 = 110$

$110 = 110$

Ergebnis:

Die Aussage ist wahr. Die Lösung ist korrekt.

Beispiel 4

Aufgabe

Ermittle die fehlende Zahl: $90 - \square = 150$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung umstellen
Dieser Fall ist etwas knifflig, weil das Minuszeichen vor dem Kästchen steht. Wir können die Gleichung umstellen, um es einfacher zu machen. Wir wollen das Kästchen $\square$ positiv haben. Dazu addieren wir auf beiden Seiten $\square$ .

$90 - \square + \square = 150 + \square$

$90 = 150 + \square$
Schritt 2
Umkehroperation anwenden
Jetzt ist es eine normale Gleichung. Neben dem Kästchen steht eine $+ 150$ . Die Umkehroperation ist $- 150$ .

$90 - 150 = 150 - 150 + \square$

$90 - 150 = \square$
Schritt 3
Ergebnis ausrechnen
Wir rechnen die linke Seite aus.

$-60 = \square$
Schritt 4 · Ergebnis
Probe
Wir setzen $-60$ in die ursprüngliche Gleichung ein:

$90 - (-60) = 150$

$90 + 60 = 150$

$150 = 150$

Ergebnis:

Die Aussage ist wahr. Die Lösung stimmt.

Beispiel 5

Aufgabe

Ermittle die fehlende Zahl: $-200 = \square - 80$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung analysieren
Die Gleichung ist „vertauscht", aber das Prinzip bleibt gleich. Neben der unbekannten Zahl steht eine $- 80$ .
Schritt 2
Umkehroperation anwenden
Die Umkehroperation von $- 80$ ist $+ 80$ . Wir addieren auf beiden Seiten 80.

$-200 + 80 = \square - 80 + 80$

Auf der rechten Seite bleibt nur das Kästchen übrig.

$-200 + 80 = \square$
Schritt 3
Ergebnis ausrechnen
Wir rechnen die linke Seite aus.

$-120 = \square$
Schritt 4 · Ergebnis
Probe
Wir setzen $-120$ in die ursprüngliche Gleichung ein:

$-200 = -120 - 80$

$-200 = -200$

Ergebnis:

Die Aussage ist wahr. Unsere Lösung ist korrekt.

Aufgabentyp 2: Sachaufgaben durch Rückwärtsrechnen lösen

Eine weitere wichtige Technik beim Lösen linearer Gleichungen mit ganzen Zahlen ist das Rückwärtsrechnen bei Sachaufgaben. Manche Aufgaben geben dir das Endergebnis und eine Reihe von Schritten. Deine Aufgabe ist es, den ursprünglichen Startwert zu finden.

Stell es dir vor, wie wenn du einen Film zurückspulst. Du beginnst am Ende und gehst Schritt für Schritt zurück zum Anfang.

Dabei musst du zwei Dinge tun:

Reihenfolge umkehren: Was als letztes passiert ist, machst du als erstes rückgängig.
Operationen umkehren: Statt zu addieren, subtrahierst du. Statt zu subtrahieren, addierst du.

Ein einfaches Beispiel: Du gehst aus dem Haus und ziehst zuerst deine Socken an, dann deine Schuhe. Um wieder barfuß zu sein, kehrst du die Reihenfolge um (erst Schuhe, dann Socken) und machst das Gegenteil (ausziehen statt anziehen).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Alle Aktionen auflisten: Lies den Text genau und schreibe alle Aktionen (z. B. „steigt um 100 m", „verliert 5 Punkte") in der richtigen Reihenfolge untereinander auf.
Mit dem Endergebnis starten: Nimm das Endergebnis aus der Aufgabe als deinen Startpunkt für die Berechnung.
Rückwärts arbeiten und Operationen umkehren: Gehe deine Liste von Aktionen von unten nach oben durch. Führe für jede Aktion die Umkehroperation mit deinem aktuellen Zwischenergebnis durch. Aus „ $+ 100$ " wird „ $- 100$ ", aus „ $- 50$ " wird „ $+ 50$ ".
Startwert berechnen: Wenn du die letzte (also die ursprünglich erste) Aktion rückgängig gemacht hast, ist dein Ergebnis der gesuchte Startwert.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein U-Boot taucht zunächst 250 m tief. Danach steigt es um 80 m auf. Seine aktuelle Tiefe beträgt nun 400 m unter dem Meeresspiegel. Von welcher Tiefe ist das U-Boot ursprünglich gestartet?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Alle Aktionen auflisten
1. Taucht 250 m (also $-250$ m, da es nach unten geht)
2. Steigt um 80 m (also $+80$ m)
Endtiefe: $-400$ m
Schritt 2
Mit dem Endergebnis starten
Wir beginnen bei der Endtiefe von $-400$ m.
Schritt 3
Rückwärts arbeiten und Operationen umkehren
Die letzte Aktion war „steigt um 80 m". Die Umkehroperation ist „sinkt um 80 m", also rechnen wir $-80$ m.

$-400 \text{ m} - 80 \text{ m} = -480 \text{ m}$

Die erste Aktion war „taucht 250 m". Die Umkehroperation ist „steigt um 250 m", also rechnen wir $+250$ m.

$-480 \text{ m} + 250 \text{ m} = -230 \text{ m}$
Schritt 4 · Ergebnis
Starthöhe berechnen

Ergebnis:

Das U-Boot ist von einer Tiefe von 230 m unter dem Meeresspiegel gestartet.

Beispiel 2

Aufgabe

Anna hat am Ende des Tages 15 € in ihrem Geldbeutel. Sie erinnert sich, dass sie 7 € für ein Mittagessen ausgegeben und später 10 € Taschengeld von ihrer Oma bekommen hat. Wie viel Geld hatte Anna am Morgen?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Alle Aktionen auflisten
1. Gibt 7 € aus (also $-7$ €)
2. Bekommt 10 € (also $+10$ €)
Endbetrag: 15 €
Schritt 2
Mit dem Endergebnis starten
Wir beginnen mit dem Endbetrag von $15$ €.
Schritt 3
Rückwärts arbeiten und Operationen umkehren
Die letzte Aktion war „bekommt 10 €". Die Umkehroperation ist „gibt 10 € aus", also rechnen wir $-10$ €.

$15 \text{ €} - 10 \text{ €} = 5 \text{ €}$

Die erste Aktion war „gibt 7 € aus". Die Umkehroperation ist „bekommt 7 €", also rechnen wir $+7$ €.

$5 \text{ €} + 7 \text{ €} = 12 \text{ €}$
Schritt 4 · Ergebnis
Startbetrag berechnen

Ergebnis:

Anna hatte am Morgen 12 €.

Beispiel 3

Aufgabe

Die Temperatur beträgt um Mitternacht $-8°C$ . Sie ist seit dem Nachmittag um $12°C$ gefallen. Davor war sie am Morgen um $5°C$ gestiegen. Wie hoch war die Temperatur am Morgen?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Alle Aktionen auflisten
1. Steigt um 5°C (also $+5°C$ )
2. Fällt um 12°C (also $-12°C$ )
Endtemperatur: $-8°C$
Schritt 2
Mit dem Endergebnis starten
Wir beginnen bei der Endtemperatur von $-8°C$ .
Schritt 3
Rückwärts arbeiten und Operationen umkehren
Die letzte Aktion war „fällt um 12°C". Die Umkehroperation ist „steigt um 12°C", also rechnen wir $+12°C$ .

$-8°C + 12°C = 4°C$

Die erste Aktion war „steigt um 5°C". Die Umkehroperation ist „fällt um 5°C", also rechnen wir $-5°C$ .

$4°C - 5°C = -1°C$
Schritt 4 · Ergebnis
Starttemperatur berechnen

Ergebnis:

Die Temperatur am Morgen betrug $-1°C$ .

Beispiel 4

Aufgabe

In einem Videospiel verliert Leo zuerst 200 Punkte, weil er in eine Falle getappt ist. Danach sammelt er einen Bonus von 550 Punkten. Sein Punktestand ist jetzt 1250. Wie viele Punkte hatte er zu Beginn?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Alle Aktionen auflisten
1. Verliert 200 Punkte (also $-200$ )
2. Sammelt 550 Punkte (also $+550$ )
Endpunktestand: 1250
Schritt 2
Mit dem Endergebnis starten
Wir beginnen beim Endpunktestand von $1250$ .
Schritt 3
Rückwärts arbeiten und Operationen umkehren
Die letzte Aktion war „sammelt 550 Punkte". Die Umkehroperation ist „verliert 550 Punkte", also rechnen wir $-550$ .

$1250 - 550 = 700$

Die erste Aktion war „verliert 200 Punkte". Die Umkehroperation ist „sammelt 200 Punkte", also rechnen wir $+200$ .

$700 + 200 = 900$
Schritt 4 · Ergebnis
Startpunkte berechnen

Ergebnis:

Leo hatte zu Beginn 900 Punkte.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Wassertank wird befüllt. Zuerst fließen 300 Liter Wasser ab. Danach werden 1200 Liter hinzugefügt. Am Ende befinden sich 2000 Liter im Tank. Wie viele Liter waren am Anfang im Tank?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Alle Aktionen auflisten
1. Fließen 300 Liter ab (also $-300$ L)
2. Werden 1200 Liter hinzugefügt (also $+1200$ L)
Endmenge: 2000 L
Schritt 2
Mit dem Endergebnis starten
Wir beginnen bei der Endmenge von $2000$ L.
Schritt 3
Rückwärts arbeiten und Operationen umkehren
Die letzte Aktion war „ $+1200$ L". Die Umkehroperation ist „ $-1200$ L".

$2000 \text{ L} - 1200 \text{ L} = 800 \text{ L}$

Die erste Aktion war „ $-300$ L". Die Umkehroperation ist „ $+300$ L".

$800 \text{ L} + 300 \text{ L} = 1100 \text{ L}$
Schritt 4 · Ergebnis
Startmenge berechnen

Ergebnis:

Am Anfang waren 1100 Liter im Tank.

Wichtige Erkenntnisse

Um eine unbekannte Zahl in einer Gleichung zu finden, benutze die Umkehroperation.
Die Umkehroperation von Addition ist Subtraktion und umgekehrt.
Was du auf der einen Seite der Gleichung machst, musst du auch auf der anderen Seite tun, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt.
Bei Sachaufgaben mit bekanntem Ende löst du das Problem durch Rückwärtsrechnen: Beginne am Ende, kehre die Reihenfolge der Schritte um und nutze die Umkehroperationen.

Lineare Gleichungen mit ganzen Zahlen lösen

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Fehlende Zahl in einfachen Gleichungen finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Sachaufgaben durch Rückwärtsrechnen lösen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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