Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS) im Sachkontext?

Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) im Sachkontext besteht aus zwei linearen Gleichungen, die eine reale Situation beschreiben. Es enthält zwei Unbekannte – meistens x und y – und die Lösung ist das Zahlenpaar, das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt . LGS helfen dir, Textaufgaben systematisch zu lösen, zum Beispiel Preise zu vergleichen, Mengen zu berechnen oder Streckenlängen zu bestimmen.

Wie stellst du ein LGS aus einer Textaufgabe auf?

Gehe in zwei Schritten vor: Lege zuerst fest, wofür x und y stehen (z. B. x = Preis eines Artikels). Suche dann zwei voneinander unabhängige Informationen im Text und übersetze jede in eine eigene Gleichung. Aus „3 Stehplätze und 2 Sitzplätze kosten 130 €" wird zum Beispiel 3y + 2x = 130 . Wiederhole das für die zweite Information – schon hast du dein LGS.

Wie löst du ein LGS grafisch?

Forme beide Gleichungen in die Geradenform y = mx + b um. Bestimme dann für jede Gerade zwei Punkte, indem du einfache x -Werte einsetzt. Trage beide Geraden in ein Koordinatensystem ein und lies den Schnittpunkt ab – seine Koordinaten sind die Lösung des LGS. Schreibe abschließend einen Antwortsatz im Sachkontext.

Wann hat ein LGS im Sachkontext genau eine Lösung?

Ein LGS hat genau eine Lösung, wenn die beiden Geraden einen einzigen Schnittpunkt haben, also weder parallel zueinander verlaufen noch identisch sind. Das ist der Normalfall bei Sachaufgaben: Zwei unterschiedliche Bedingungen liefern zwei Geraden mit verschiedenen Steigungen, die sich in genau einem Punkt schneiden.

Was ist der Unterschied zwischen dem grafischen und dem rechnerischen Lösen eines LGS?

Beim grafischen Lösen zeichnest du beide Gleichungen als Geraden ins Koordinatensystem und liest den Schnittpunkt ab – das ist anschaulich, aber nur so genau wie deine Zeichnung. Beim rechnerischen Lösen (z. B. mit dem Gleichsetzungsverfahren) berechnest du den Schnittpunkt exakt ohne Zeichnung. Für ganzzahlige Lösungen reicht die grafische Methode gut aus; für Dezimalwerte ist der Rechenweg präziser.

LGS im Sachkontext aufstellen & lösen

Textaufgaben können echt nervig sein, oder? Man liest einen langen Text und hat keine Ahnung, wo man anfangen soll. Aber stell dir vor, du hättest einen geheimen Code-Breaker, der jeden Sachverhalt in eine einfache, lösbare Mathe-Aufgabe verwandelt. Genau das sind Lineare Gleichungssysteme (LGS)! Mit diesem Werkzeug knackst du LGS im Sachkontext systematisch, holst dir sicher die Punkte in der Prüfung und kannst sogar reale Probleme lösen – zum Beispiel ausrechnen, welches Handy-Abo wirklich günstiger ist oder wie man ein Budget für eine Party plant. Das ist kein Ratespiel, sondern eine klare Strategie.

Vorwissen

Bevor wir Textaufgaben in Gleichungen verwandeln, wiederholen wir kurz die Grundlagen:

Variable: Ein Buchstabe (oft $x$ oder $y$ ), der als Platzhalter für eine unbekannte Zahl dient.
- Beispiel: In der Gleichung $2 \cdot x = 10$ ist $x$ die Variable. Ihre Lösung ist $5$ .
Lineare Funktionsgleichung (Geradengleichung): Beschreibt eine gerade Linie im Koordinatensystem. Die allgemeine Form ist $y = m \cdot x + b$ .
- Formel: $y = m \cdot x + b$
- Beispiel: Die Gleichung $y = 2x + 1$ beschreibt eine Gerade. Für jeden $x$ -Wert können wir einen $y$ -Wert berechnen, z.B. wenn $x=3$ , dann ist $y = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ . Der Punkt $(3|7)$ liegt auf der Geraden.
Koordinatensystem: Ein System mit einer x-Achse (horizontal) und einer y-Achse (vertikal), in dem Punkte und Graphen gezeichnet werden.
- Beispiel: Der Punkt $P(2|3)$ befindet sich 2 Einheiten rechts und 3 Einheiten oben vom Ursprung $(0|0)$ .

Koordinatensystem mit eingezeichnetem Punkt P

Aufgabentyp 1: LGS aus einem Sachkontext aufstellen und grafisch lösen

Ein Sachkontext beschreibt eine reale Situation mit Zahlen. Unsere Aufgabe ist es, die darin versteckten mathematischen Beziehungen zu finden und als Gleichungen aufzuschreiben. Meistens gibt es zwei unbekannte Größen, die wir herausfinden wollen.

Um diese beiden Unbekannten zu finden, brauchen wir auch zwei voneinander unabhängige Informationen aus dem Text. Jede Information wird zu einer eigenen linearen Gleichung. Diese beiden Gleichungen zusammen nennt man ein Lineares Gleichungssystem (LGS).

Die Lösung des LGS ist das Zahlenpaar $(x|y)$ , das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Wenn wir die beiden Gleichungen als Geraden in ein Koordinatensystem zeichnen, ist die Lösung genau der Schnittpunkt dieser beiden Geraden. Denn dieser eine Punkt liegt auf beiden Geraden und erfüllt somit beide Bedingungen.

Ein Beispiel:

Information 1: „Zwei Äpfel und ein Muffin kosten 4 €." $\to$ Gleichung I: $2x + y = 4$
Information 2: „Ein Apfel und ein Muffin kosten 3 €." $\to$ Gleichung II: $x + y = 3$

Wenn wir diese beiden als Geraden zeichnen, schneiden sie sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist die Lösung.

Zwei Geraden schneiden sich im Koordinatensystem

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Variablen festlegen: Lies die Aufgabenstellung genau und finde heraus, welche zwei Größen gesucht sind. Weise jeder Größe eine Variable zu (z.B. $x$ und $y$ ) und schreibe klar auf, wofür jede Variable steht.
Gleichungen aufstellen: Finde die zwei getrennten Informationen im Text. Übersetze jede Information in eine mathematische Gleichung mit deinen Variablen $x$ und $y$ . Du erhältst zwei Gleichungen (I) und (II).
Gleichungen zur Geradenform umformen: Forme beide Gleichungen durch algebraische Umformungen in die bekannte Geradenform $y = m \cdot x + b$ um, damit du sie leicht zeichnen kannst.
Geraden zeichnen: Zeichne ein passendes Koordinatensystem. Setze für jede Geradengleichung zwei einfache $x$ -Werte ein (z.B. $x=0$ und einen weiteren Wert), berechne die zugehörigen $y$ -Werte, trage die Punkte ein und verbinde sie mit einem Lineal. Wiederhole dies für die zweite Gleichung.
Schnittpunkt ablesen: Finde den Punkt, an dem sich die beiden Geraden schneiden, und lies die Koordinaten $(x_S|y_S)$ so genau wie möglich ab.
Antwortsatz formulieren: Übersetze die mathematische Lösung zurück in den Sachkontext und schreibe einen klaren Antwortsatz, der die ursprüngliche Frage beantwortet.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Konzert bietet Steh- und Sitzplätze an. Eine Gruppe von fünf Freundinnen zahlte für 3 Stehplätze und 2 Sitzplätze insgesamt 130 €. Eine andere Gruppe kaufte 8 Stehplätze und zahlte zusammen 160 €. Wie viel kostet ein Steh- und wie viel ein Sitzplatz? Stelle ein Gleichungssystem auf und löse es grafisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Variablen festlegen
Wir suchen die Preise für die beiden Ticketarten.
- $x$ : Preis für einen Sitzplatz in €
- $y$ : Preis für einen Stehplatz in €
2
Schritt 2
Gleichungen aufstellen
Wir übersetzen die beiden Informationen aus dem Text:
- Info 1: „3 Stehplätze und 2 Sitzplätze kosten 130 €." $\to \text{(I)}: 3y + 2x = 130$
- Info 2: „8 Stehplätze kosten 160 €." $\to \text{(II)}: 8y = 160$
Schritt 3
Gleichungen zur Geradenform umformen
Wir formen beide Gleichungen nach $y$ um.

Für Gleichung (I): $3y + 2x = 130 \quad | -2x$

$3y = -2x + 130 \quad | :3$

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{130}{3}$

Für Gleichung (II): $8y = 160 \quad | :8$

$y = 20$
4
Schritt 4
Geraden zeichnen
Wir finden für jede Gerade zwei Punkte.
- Gerade (I): $y = -\frac{2}{3}x + \frac{130}{3}$
  - Wenn $x=20 \implies y = -\frac{2}{3}(20) + \frac{130}{3} = -\frac{40}{3} + \frac{130}{3} = \frac{90}{3} = 30$ . Punkt $P_1(20|30)$ .
  - Wenn $x=50 \implies y = -\frac{2}{3}(50) + \frac{130}{3} = -\frac{100}{3} + \frac{130}{3} = \frac{30}{3} = 10$ . Punkt $P_2(50|10)$ .
- Gerade (II): $y = 20$
  - Dies ist eine waagerechte Linie auf der Höhe $y=20$ . Wir können zwei beliebige Punkte wählen, z.B. $Q_1(0|20)$ und $Q_2(40|20)$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Schnittpunkt ablesen
Wir zeichnen die Geraden in ein Koordinatensystem ein und lesen den Schnittpunkt ab.

Schnittpunkt der zwei Konzert-Tarif-Geraden

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist $S(35|20)$ .

Ergebnis:

Ein Sitzplatz kostet 35 € und ein Stehplatz kostet 20 €.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Bauer hat Hühner und Kaninchen. Er zählt insgesamt 30 Tiere. Als er die Beine zählt, kommt er auf insgesamt 80 Beine. Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen hat der Bauer? Stelle ein LGS auf und löse es grafisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Variablen festlegen
Wir suchen die Anzahl der Hühner und Kaninchen.
- $x$ : Anzahl der Hühner (haben 2 Beine)
- $y$ : Anzahl der Kaninchen (haben 4 Beine)
2
Schritt 2
Gleichungen aufstellen
Wir übersetzen die beiden Informationen aus dem Text:
- Info 1 (Köpfe/Tiere): „insgesamt 30 Tiere" $\to \text{(I)}: x + y = 30$
- Info 2 (Beine): „insgesamt 80 Beine" $\to \text{(II)}: 2x + 4y = 80$
Schritt 3
Gleichungen zur Geradenform umformen
Wir formen beide Gleichungen nach $y$ um.

Für Gleichung (I): $x + y = 30 \quad | -x$

$y = -x + 30$

Für Gleichung (II): $2x + 4y = 80 \quad | -2x$

$4y = -2x + 80 \quad | :4$

$y = -\frac{1}{2}x + 20$
4
Schritt 4
Geraden zeichnen
Wir finden für jede Gerade zwei Punkte.
- Gerade (I): $y = -x + 30$
  - Wenn $x=0 \implies y = 30$ . Punkt $P_1(0|30)$ .
  - Wenn $x=30 \implies y = 0$ . Punkt $P_2(30|0)$ .
- Gerade (II): $y = -\frac{1}{2}x + 20$
  - Wenn $x=0 \implies y = 20$ . Punkt $Q_1(0|20)$ .
  - Wenn $x=40 \implies y = 0$ . Punkt $Q_2(40|0)$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Schnittpunkt ablesen
Wir zeichnen die Geraden in ein Koordinatensystem ein.

Schnittpunkt der Geraden Hühner und Kaninchen

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist $S(20|10)$ .

Ergebnis:

Der Bauer hat 20 Hühner und 10 Kaninchen.

Beispiel 3

Aufgabe

Zwei Zahlen haben die Summe 50. Das Doppelte der ersten Zahl ist gleich dem Dreifachen der zweiten Zahl. Wie lauten die beiden Zahlen? Stelle ein LGS auf und löse es grafisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Variablen festlegen
Wir suchen zwei unbekannte Zahlen.
- $x$ : Die erste Zahl
- $y$ : Die zweite Zahl
2
Schritt 2
Gleichungen aufstellen
Wir übersetzen die beiden Informationen aus dem Text:
- Info 1: „Zwei Zahlen haben die Summe 50." $\to \text{(I)}: x + y = 50$
- Info 2: „Das Doppelte der ersten Zahl ist gleich dem Dreifachen der zweiten Zahl." $\to \text{(II)}: 2x = 3y$
Schritt 3
Gleichungen zur Geradenform umformen
Wir formen beide Gleichungen nach $y$ um.

Für Gleichung (I): $x + y = 50 \quad | -x$

$y = -x + 50$

Für Gleichung (II): $2x = 3y \quad | :3$

$y = \frac{2}{3}x$
4
Schritt 4
Geraden zeichnen
Wir finden für jede Gerade zwei Punkte.
- Gerade (I): $y = -x + 50$
  - Wenn $x=0 \implies y = 50$ . Punkt $P_1(0|50)$ .
  - Wenn $x=50 \implies y = 0$ . Punkt $P_2(50|0)$ .
- Gerade (II): $y = \frac{2}{3}x$
  - Wenn $x=0 \implies y = 0$ . Punkt $Q_1(0|0)$ .
  - Wenn $x=30 \implies y = \frac{2}{3}(30) = 20$ . Punkt $Q_2(30|20)$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Schnittpunkt ablesen
Wir zeichnen die Geraden in ein Koordinatensystem ein.

Schnittpunkt zweier Geraden für Zahlenaufgabe

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist $S(30|20)$ .

Ergebnis:

Die erste Zahl ist 30 und die zweite Zahl ist 20.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Rechteck hat einen Umfang von 34 cm. Die längere Seite ist um 5 cm länger als die kürzere Seite. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks? Stelle ein LGS auf und löse es grafisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Variablen festlegen
Wir suchen die Längen der beiden Seiten des Rechtecks.
- $x$ : Länge der kürzeren Seite in cm
- $y$ : Länge der längeren Seite in cm
2
Schritt 2
Gleichungen aufstellen
Wir übersetzen die beiden Informationen aus dem Text:
- Info 1 (Umfang): „Umfang von 34 cm." Die Formel für den Umfang ist $U = 2a + 2b$ . $\to \text{(I)}: 2x + 2y = 34$
- Info 2 (Längenverhältnis): „Die längere Seite ist um 5 cm länger als die kürzere Seite." $\to \text{(II)}: y = x + 5$
Schritt 3
Gleichungen zur Geradenform umformen
Wir formen Gleichung (I) nach $y$ um. Gleichung (II) hat bereits die richtige Form.

Für Gleichung (I): $2x + 2y = 34 \quad | -2x$

$2y = -2x + 34 \quad | :2$

$y = -x + 17$

Für Gleichung (II): $y = x + 5$
4
Schritt 4
Geraden zeichnen
Wir finden für jede Gerade zwei Punkte.
- Gerade (I): $y = -x + 17$
  - Wenn $x=0 \implies y = 17$ . Punkt $P_1(0|17)$ .
  - Wenn $x=10 \implies y = 7$ . Punkt $P_2(10|7)$ .
- Gerade (II): $y = x + 5$
  - Wenn $x=0 \implies y = 5$ . Punkt $Q_1(0|5)$ .
  - Wenn $x=10 \implies y = 15$ . Punkt $Q_2(10|15)$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Schnittpunkt ablesen
Wir zeichnen die Geraden in ein Koordinatensystem ein.

Schnittpunkt der Geraden für Rechteck-Aufgabe

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist $S(6|11)$ .

Ergebnis:

Die kürzere Seite des Rechtecks ist 6 cm lang und die längere Seite ist 11 cm lang.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Mobilfunkanbieter hat zwei Tarife. Tarif A hat eine Grundgebühr von 20 € und kostet 10 Cent pro Gesprächsminute. Tarif B hat keine Grundgebühr, kostet aber 50 Cent pro Gesprächsminute. Bei wie vielen Gesprächsminuten sind beide Tarife gleich teuer? Stelle ein LGS auf und löse es grafisch.

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Variablen festlegen
Wir suchen die Anzahl der Minuten und die Kosten.
- $x$ : Anzahl der Gesprächsminuten
- $y$ : Gesamtkosten in €
2
Schritt 2
Gleichungen aufstellen
Wir stellen für jeden Tarif eine Kostenfunktion auf (Preise in € umrechnen: 10 Cent = 0,10 €, 50 Cent = 0,50 €).
- Info 1 (Tarif A): „Grundgebühr von 20 € und 0,10 € pro Minute." $\to \text{(I)}: y = 0{,}10x + 20$
- Info 2 (Tarif B): „Keine Grundgebühr, aber 0,50 € pro Minute." $\to \text{(II)}: y = 0{,}50x$
Schritt 3
Gleichungen zur Geradenform umformen
Beide Gleichungen liegen bereits in der Form $y = mx + b$ vor.

(I): $y = 0{,}1x + 20$

(II): $y = 0{,}5x$
4
Schritt 4
Geraden zeichnen
Wir finden für jede Gerade zwei Punkte.
- Gerade (I): $y = 0{,}1x + 20$
  - Wenn $x=0 \implies y = 20$ . Punkt $P_1(0|20)$ .
  - Wenn $x=100 \implies y = 0{,}1(100) + 20 = 10 + 20 = 30$ . Punkt $P_2(100|30)$ .
- Gerade (II): $y = 0{,}5x$
  - Wenn $x=0 \implies y = 0$ . Punkt $Q_1(0|0)$ .
  - Wenn $x=100 \implies y = 0{,}5(100) = 50$ . Punkt $Q_2(100|50)$ .
Schritt 5 · Ergebnis
Schnittpunkt ablesen
Wir zeichnen die Geraden in ein Koordinatensystem ein.

Schnittpunkt der Tarif-A- und Tarif-B-Geraden

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist $S(50|25)$ .

Ergebnis:

Bei 50 Gesprächsminuten sind beide Tarife gleich teuer, sie kosten dann jeweils 25 €.

Wichtige Erkenntnisse

Zwei Unbekannte, zwei Informationen: Um eine eindeutige Lösung zu finden, brauchst du für zwei Variablen ( $x$ , $y$ ) auch zwei Gleichungen.
Text zu Mathe: Lies den Text sorgfältig und übersetze jede relevante Information in eine eigene Gleichung.
Grafische Lösung = Schnittpunkt: Der Punkt, an dem sich die beiden Geraden schneiden, ist die Lösung, die beide Bedingungen erfüllt.
Immer umformen: Bringe die Gleichungen in die Form $y = m \cdot x + b$ , um sie einfach zeichnen zu können.
Antwort im Kontext: Vergiss nicht, am Ende einen Antwortsatz zu schreiben, der die ursprüngliche Frage aus dem Text beantwortet.

LGS im Sachkontext einfach erklärt: Aufstellen & lösen

Vorwissen

Aufgabentyp 1: LGS aus einem Sachkontext aufstellen und grafisch lösen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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