Was ist das Einsetzungsverfahren beim LGS?

Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Du stellst eine Gleichung nach einer Variablen um – zum Beispiel nach y – und setzt den erhaltenen Term in die andere Gleichung ein. Dadurch entsteht eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die du direkt lösen kannst. Anschließend berechnest du die zweite Variable durch Rückeinsetzen. Das Verfahren funktioniert für alle drei möglichen Lösungsfälle: genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen.

Wie erkennst du, ob ein LGS keine Lösung hat?

Ein LGS hat keine Lösung , wenn nach dem Einsetzen und Vereinfachen alle Variablen wegfallen und eine falsche Aussage übrig bleibt – zum Beispiel 6 = 7 oder -10 = -9 . Man nennt das einen Widerspruch . Das passiert immer dann, wenn die beiden Gleichungen sich gegenseitig ausschließen, also kein Zahlenpaar (x|y) beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen kann. Die Lösungsmenge ist in diesem Fall leer.

Wie erkennst du, ob ein LGS unendlich viele Lösungen hat?

Ein LGS hat unendlich viele Lösungen , wenn nach dem Einsetzen und Vereinfachen alle Variablen wegfallen und eine wahre Aussage übrig bleibt – zum Beispiel 16 = 16 oder 6 = 6 . Das bedeutet, dass beide Gleichungen im Grunde dieselbe Information enthalten und eine nur ein Vielfaches der anderen ist. Jedes Zahlenpaar, das eine Gleichung erfüllt, löst automatisch auch die zweite.

Was ist ein Parameter in einem linearen Gleichungssystem?

Ein Parameter in einem linearen Gleichungssystem ist ein zusätzlicher Buchstabe – häufig k oder a – dessen Wert zunächst unbekannt ist. Deine Aufgabe ist es, den Parameterwert so zu bestimmen, dass das LGS eine bestimmte Lösungsanzahl besitzt, zum Beispiel keine oder unendlich viele Lösungen. Während der Rechnung behandelst du den Parameter einfach wie eine gewöhnliche Zahl und löst das LGS mit dem Einsetzungsverfahren.

Wie bestimmst du die Anzahl der Lösungen eines LGS mit Parameter?

Du wendest das Einsetzungsverfahren wie gewohnt an und klammere am Ende die Variable aus. Du erhältst eine Form wie (Term mit k) · x = Zahl . Für keine Lösung setzt du den Term vor der Variablen gleich null – dann entsteht ein Widerspruch der Form 0 = Zahl . Für unendlich viele Lösungen muss der Term vor der Variablen ebenfalls null werden, und gleichzeitig muss auch die rechte Seite null sein – dann entsteht die wahre Aussage 0 = 0 .

LGS Anzahl der Lösungen: Einsetzungsverfahren erklärt

Lineare Gleichungssysteme (LGS) begegnen dir in fast jeder Mathe-Klausur – und mit dem Einsetzungsverfahren hast du einen klaren, schnellen Plan, um die Anzahl der Lösungen zuverlässig zu bestimmen. Ob ein LGS genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat: Du erkennst es nach wenigen Rechenschritten. Sieh es als Cheat-Code: Während andere raten oder komplizierte Wege gehen, hast du eine Methode, mit der du systematisch jede dieser Aufgaben lösen kannst. Das spart Zeit, Nerven und sichert dir wichtige Punkte.

Schnellantwort

Das Einsetzungsverfahren ist eine Methode, um lineare Gleichungssysteme zu lösen: Du stellst eine Gleichung nach einer Variablen um und setzt den Term in die andere Gleichung ein. Je nachdem, was dabei herauskommt – ein konkreter Zahlenwert, ein Widerspruch oder eine immer wahre Aussage – hat das LGS genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz die Grundlagen, die du brauchst:

Gleichung nach einer Variablen umstellen: Du isolierst eine Variable auf einer Seite der Gleichung.
- Beispiel: Die Gleichung $3x + y = 9$ wird zu $y = 9 - 3x$ umgestellt, indem man $3x$ subtrahiert.
Terme zusammenfassen: Du fasst gleiche Variablentypen und Zahlen zusammen.
- Beispiel: Im Term $5x - 2 + 3x$ fasst du $5x$ und $3x$ zu $8x$ zusammen. Das Ergebnis ist $8x - 2$ .
Ausmultiplizieren (Distributivgesetz): Du multiplizierst eine Zahl oder Variable mit jedem Glied in einer Klammer.
- Formel: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
- Beispiel: $4 \cdot (x - 2)$ wird zu $4 \cdot x - 4 \cdot 2 = 4x - 8$ .

Aufgabentyp 1: LGS mit genau einer Lösung

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus zwei oder mehr Gleichungen mit zwei oder mehr Variablen. Das Ziel ist, Werte für die Variablen zu finden, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Wenn ein LGS genau eine Lösung hat, bedeutet das, dass es exakt ein Zahlenpaar $(x|y)$ gibt, das beide Gleichungen wahr macht. Mit dem Einsetzungsverfahren finden wir dieses Paar Schritt für Schritt.

Das Erkennungszeichen für genau eine Lösung ist, dass du am Ende eine klare Zahl für eine Variable herausbekommst, zum Beispiel $x=2$ . Daraus kannst du dann die zweite Variable berechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wähle eine Gleichung (am besten die einfachere) und stelle sie nach einer Variablen um, z.B. nach $y$ .
Setze den umgestellten Term in die andere Gleichung ein, sodass eine Gleichung mit nur einer Variablen entsteht.
Löse die neue Gleichung nach der verbliebenen Variablen auf und erhalte einen konkreten Zahlenwert.
Berechne die zweite Variable, indem du den gefundenen Wert in die umgestellte Gleichung aus Schritt 1 einsetzt.
Gib das Lösungspaar an – das LGS hat genau eine Lösung.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 3x - 4y = 2$

$\text{(II)}: 2x + y = 5$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Wir sehen, dass in Gleichung $\text{(II)}$ die Variable $y$ alleine steht. Daher ist es am einfachsten, diese Gleichung nach $y$ umzustellen.

$\text{(II)}: 2x + y = 5 \quad | -2x$

$y = 5 - 2x$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Jetzt setzen wir den Term $5 - 2x$ für $y$ in die erste Gleichung $\text{(I)}$ ein.

$\text{(I)}: 3x - 4(5 - 2x) = 2$
Schritt 3
Neue Gleichung lösen
Diese Gleichung hat nur noch die Variable $x$ und kann gelöst werden.

$3x - 20 + 8x = 2$

$11x - 20 = 2 \quad | +20$

$11x = 22 \quad | \div 11$

$x = 2$
Schritt 4
Zweite Variable berechnen
Wir setzen unseren gefundenen Wert $x=2$ in die umgestellte Gleichung aus Schritt 1 ein.

$y = 5 - 2 \cdot 2$

$y = 5 - 4$

$y = 1$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Wir haben einen eindeutigen Wert für $x$ und $y$ gefunden. Die Lösung ist $(2|1)$ .

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: x + 3y = 7$

$\text{(II)}: 2x - y = 0$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(I)}$ nach $x$ um.

$\text{(I)}: x + 3y = 7 \quad | -3y$

$x = 7 - 3y$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $x$ in Gleichung $\text{(II)}$ ein.

$\text{(II)}: 2(7 - 3y) - y = 0$
Schritt 3
Neue Gleichung lösen
$14 - 6y - y = 0$

$14 - 7y = 0 \quad | -14$

$-7y = -14 \quad | \div (-7)$

$y = 2$
Schritt 4
Zweite Variable berechnen
Wir setzen $y=2$ in die umgestellte Gleichung ein.

$x = 7 - 3 \cdot 2$

$x = 7 - 6$

$x = 1$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Die Lösung ist $(1|2)$ .

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 5a - 2b = 11$

$\text{(II)}: a = 3b + 2$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Gleichung $\text{(II)}$ ist bereits nach $a$ aufgelöst.

$a = 3b + 2$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $a$ in Gleichung $\text{(I)}$ ein.

$\text{(I)}: 5(3b + 2) - 2b = 11$
Schritt 3
Neue Gleichung lösen
$15b + 10 - 2b = 11$

$13b + 10 = 11 \quad | -10$

$13b = 1 \quad | \div 13$

$b = \frac{1}{13}$
Schritt 4
Zweite Variable berechnen
Wir setzen $b = \frac{1}{13}$ in die umgestellte Gleichung ein.

$a = 3 \cdot \frac{1}{13} + 2$

$a = \frac{3}{13} + \frac{26}{13}$

$a = \frac{29}{13}$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Die Lösung ist $(\frac{29}{13}|\frac{1}{13})$ .

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 6x + 2y = 10$

$\text{(II)}: -x + y = 1$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(II)}$ nach $y$ um.

$\text{(II)}: -x + y = 1 \quad | +x$

$y = 1 + x$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $y$ in Gleichung $\text{(I)}$ ein.

$\text{(I)}: 6x + 2(1 + x) = 10$
Schritt 3
Neue Gleichung lösen
$6x + 2 + 2x = 10$

$8x + 2 = 10 \quad | -2$

$8x = 8 \quad | \div 8$

$x = 1$
Schritt 4
Zweite Variable berechnen
Wir setzen $x=1$ in die umgestellte Gleichung ein.

$y = 1 + 1$

$y = 2$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Die Lösung ist $(1|2)$ .

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung.

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 4x - 5y = 14$

$\text{(II)}: -2x + y = -6$

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(II)}$ nach $y$ um.

$\text{(II)}: -2x + y = -6 \quad | +2x$

$y = 2x - 6$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $y$ in Gleichung $\text{(I)}$ ein.

$\text{(I)}: 4x - 5(2x - 6) = 14$
Schritt 3
Neue Gleichung lösen
$4x - 10x + 30 = 14$

$-6x + 30 = 14 \quad | -30$

$-6x = -16 \quad | \div (-6)$

$x = \frac{-16}{-6} = \frac{8}{3}$
Schritt 4
Zweite Variable berechnen
Wir setzen $x=\frac{8}{3}$ in die umgestellte Gleichung ein.

$y = 2 \cdot \frac{8}{3} - 6$

$y = \frac{16}{3} - \frac{18}{3}$

$y = -\frac{2}{3}$
Schritt 5 · Ergebnis
Lösungsmenge angeben
Die Lösung ist $(\frac{8}{3}|-\frac{2}{3})$ .

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung.

Aufgabentyp 2: LGS ohne Lösung

Manchmal passen die beiden Gleichungen eines LGS einfach nicht zusammen. Sie widersprechen sich. Das bedeutet, es gibt kein einziges Zahlenpaar $(x|y)$ , das beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen kann.

Beim Lösen mit dem Einsetzungsverfahren erkennst du diesen Fall daran, dass nach dem Einsetzen und Vereinfachen alle Variablen wegfallen und eine falsche Aussage übrig bleibt.

Ein Beispiel für eine solche falsche Aussage ist $6 = 7$ . Da dies offensichtlich falsch ist, wissen wir, dass es keine Lösung geben kann. Man nennt das auch einen Widerspruch.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wähle eine Gleichung und stelle sie nach einer Variablen um, z.B. nach $y$ .
Setze den umgestellten Term in die andere Gleichung ein.
Vereinfache die neue Gleichung. Wenn dabei alle Variablen verschwinden und eine falsche Aussage wie z.B. $3=5$ übrig bleibt, ist das ein Widerspruch.
Ziehe die Schlussfolgerung: Ein Widerspruch bedeutet, dass das LGS keine Lösung hat. Die Lösungsmenge ist leer.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 4x - 5y = 3$

$\text{(II)}: 8x - 10y = 7$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(I)}$ nach $x$ um.

$\text{(I)}: 4x - 5y = 3 \quad | +5y$

$4x = 3 + 5y \quad | \div 4$

$x = \frac{3 + 5y}{4}$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $x$ in Gleichung $\text{(II)}$ ein.

$\text{(II)}: 8 \cdot (\frac{3 + 5y}{4}) - 10y = 7$
Schritt 3
Gleichung vereinfachen und Ergebnis interpretieren
Wir können die 8 mit der 4 im Nenner kürzen.

$2 \cdot (3 + 5y) - 10y = 7$

$6 + 10y - 10y = 7$

$6 = 7$

Dies ist eine falsche Aussage. Die Variablen sind weggefallen und es bleibt ein Widerspruch.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da wir einen Widerspruch erhalten haben, hat das LGS keine Lösung.

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: y = 2x + 1$

$\text{(II)}: 2y - 4x = 3$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Gleichung $\text{(I)}$ ist bereits nach $y$ aufgelöst.

$y = 2x + 1$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $y$ in Gleichung $\text{(II)}$ ein.

$\text{(II)}: 2(2x + 1) - 4x = 3$
Schritt 3
Gleichung vereinfachen und Ergebnis interpretieren
$4x + 2 - 4x = 3$

$2 = 3$

Dies ist eine falsche Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Der Widerspruch zeigt, dass das LGS keine Lösung hat.

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 3x - y = 5$

$\text{(II)}: -6x + 2y = -9$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(I)}$ nach $y$ um.

$\text{(I)}: 3x - y = 5 \quad | -3x$

$-y = 5 - 3x \quad | \cdot (-1)$

$y = 3x - 5$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $y$ in Gleichung $\text{(II)}$ ein.

$\text{(II)}: -6x + 2(3x - 5) = -9$
Schritt 3
Gleichung vereinfachen und Ergebnis interpretieren
$-6x + 6x - 10 = -9$

$-10 = -9$

Dies ist eine falsche Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Der Widerspruch zeigt, dass das LGS keine Lösung hat.

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: x = 4y - 2$

$\text{(II)}: 2x - 8y = 0$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Gleichung $\text{(I)}$ ist bereits nach $x$ aufgelöst.

$x = 4y - 2$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $x$ in Gleichung $\text{(II)}$ ein.

$\text{(II)}: 2(4y - 2) - 8y = 0$
Schritt 3
Gleichung vereinfachen und Ergebnis interpretieren
$8y - 4 - 8y = 0$

$-4 = 0$

Dies ist eine falsche Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Der Widerspruch zeigt, dass das LGS keine Lösung hat.

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 9a + 6b = 12$

$\text{(II)}: 3a + 2b = 5$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(II)}$ nach $a$ um.

$\text{(II)}: 3a + 2b = 5 \quad | -2b$

$3a = 5 - 2b \quad | \div 3$

$a = \frac{5 - 2b}{3}$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $a$ in Gleichung $\text{(I)}$ ein.

$\text{(I)}: 9(\frac{5 - 2b}{3}) + 6b = 12$
Schritt 3
Gleichung vereinfachen und Ergebnis interpretieren
Wir kürzen die 9 mit der 3.

$3(5 - 2b) + 6b = 12$

$15 - 6b + 6b = 12$

$15 = 12$

Dies ist eine falsche Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Der Widerspruch zeigt, dass das LGS keine Lösung hat.

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Aufgabentyp 3: LGS mit unendlich vielen Lösungen

Es gibt Fälle, in denen beide Gleichungen eines LGS im Grunde dieselbe Information enthalten. Oft ist eine Gleichung nur ein Vielfaches der anderen. Das bedeutet, jedes Zahlenpaar $(x|y)$ , das die eine Gleichung löst, löst automatisch auch die zweite.

In so einem Fall gibt es unendlich viele Lösungen.

Beim Lösen mit dem Einsetzungsverfahren erkennst du das daran, dass nach dem Einsetzen und Vereinfachen alle Variablen wegfallen und eine wahre Aussage übrig bleibt.

Ein Beispiel für eine solche wahre Aussage ist $16 = 16$ . Da dies immer wahr ist, egal was $x$ oder $y$ ist, gibt es unendlich viele Lösungen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wähle eine Gleichung und stelle sie nach einer Variablen um, z.B. nach $y$ .
Setze den umgestellten Term in die andere Gleichung ein.
Vereinfache die neue Gleichung. Wenn dabei alle Variablen verschwinden und eine wahre Aussage wie z.B. $8=8$ übrig bleibt, ist das LGS allgemeingültig.
Ziehe die Schlussfolgerung: Eine wahre Aussage bedeutet, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 2x - 4y = 8$

$\text{(II)}: 4x - 8y = 16$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(I)}$ nach $x$ um.

$\text{(I)}: 2x - 4y = 8 \quad | +4y$

$2x = 8 + 4y \quad | \div 2$

$x = 4 + 2y$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $x$ in Gleichung $\text{(II)}$ ein.

$\text{(II)}: 4(4 + 2y) - 8y = 16$
Schritt 3
Gleichung vereinfachen und Ergebnis interpretieren
$16 + 8y - 8y = 16$

$16 = 16$

Dies ist eine wahre Aussage. Die Variablen sind weggefallen und es bleibt eine allgemeingültige Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da wir eine wahre Aussage erhalten haben, hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: y = 3x - 2$

$\text{(II)}: 9x - 3y = 6$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Gleichung $\text{(I)}$ ist bereits nach $y$ aufgelöst.

$y = 3x - 2$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $y$ in Gleichung $\text{(II)}$ ein.

$\text{(II)}: 9x - 3(3x - 2) = 6$
Schritt 3
Gleichung vereinfachen und Ergebnis interpretieren
$9x - 9x + 6 = 6$

$6 = 6$

Dies ist eine wahre Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Die wahre Aussage zeigt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 3

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: x + 5y = 10$

$\text{(II)}: 2x + 10y = 20$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(I)}$ nach $x$ um.

$\text{(I)}: x + 5y = 10 \quad | -5y$

$x = 10 - 5y$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $x$ in Gleichung $\text{(II)}$ ein.

$\text{(II)}: 2(10 - 5y) + 10y = 20$
Schritt 3
Gleichung vereinfachen und Ergebnis interpretieren
$20 - 10y + 10y = 20$

$20 = 20$

Dies ist eine wahre Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Die wahre Aussage zeigt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: 12a - 4b = 8$

$\text{(II)}: 3a - b = 2$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(II)}$ nach $b$ um.

$\text{(II)}: 3a - b = 2 \quad | -3a$

$-b = 2 - 3a \quad | \cdot (-1)$

$b = 3a - 2$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $b$ in Gleichung $\text{(I)}$ ein.

$\text{(I)}: 12a - 4(3a - 2) = 8$
Schritt 3
Gleichung vereinfachen und Ergebnis interpretieren
$12a - 12a + 8 = 8$

$8 = 8$

Dies ist eine wahre Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Die wahre Aussage zeigt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die Anzahl der Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

$\text{(I)}: -x + 0.5y = 1.5$

$\text{(II)}: 2x - y = -3$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(II)}$ nach $y$ um.

$\text{(II)}: 2x - y = -3 \quad | -2x$

$-y = -3 - 2x \quad | \cdot (-1)$

$y = 3 + 2x$
Schritt 2
Term in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen den Term für $y$ in Gleichung $\text{(I)}$ ein.

$\text{(I)}: -x + 0.5(3 + 2x) = 1.5$
Schritt 3
Gleichung vereinfachen und Ergebnis interpretieren
$-x + 1.5 + x = 1.5$

$1.5 = 1.5$

Dies ist eine wahre Aussage.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Die wahre Aussage zeigt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Ergebnis:

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Aufgabentyp 4: LGS mit Parameter

Manchmal enthält ein LGS einen zusätzlichen Buchstaben, einen sogenannten Parameter (z.B. $k$ oder $a$ ). Deine Aufgabe ist es dann, den Wert für diesen Parameter zu finden, damit das LGS eine bestimmte Anzahl von Lösungen hat (z.B. keine Lösung).

Der Trick dabei ist: Behandle den Parameter während der Rechnung einfach wie eine normale Zahl. Du löst das LGS mit dem Einsetzungsverfahren, bis du an einem entscheidenden Punkt ankommst.

Um zum Beispiel keine Lösung zu erzwingen, musst du einen Widerspruch erzeugen. Das schaffst du, indem du den Parameter so wählst, dass alle Variablen wegfallen, aber eine falsche Aussage wie $0=1$ übrig bleibt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Löse das LGS mit Parameter auf: Stelle eine Gleichung nach einer Variablen um und setze sie in die andere ein. Behandle den Parameter $k$ dabei wie eine bekannte Zahl.
Vereinfache die Gleichung und klammere die Variable aus. Bringe alle Terme mit der Variablen auf eine Seite. Du erhältst eine Form wie $(\text{Term mit } k) \cdot x = \text{Zahl}$ .
Lege die Bedingung für die Lösungsanzahl fest: Für keine Lösung muss der Term vor der Variablen null werden, während die andere Seite nicht null ist. Für unendlich viele Lösungen müssen der Term vor der Variablen und die Zahl auf der anderen Seite beide null werden.
Bestimme den Parameter: Setze den Term vor der Variablen gleich null und löse nach dem Parameter auf. Überprüfe, ob die Bedingung aus Schritt 3 erfüllt ist.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Gegeben ist das LGS:

$\text{(I)}: -3x + y = 2$

$\text{(II)}: kx - 3y = -5$

Bestimme den Wert für $k$ , für den das LGS keine Lösung hat.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
LGS mit Parameter auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(I)}$ nach $y$ um.

$\text{(I)}: -3x + y = 2 \quad | +3x$

$y = 2 + 3x$

Nun setzen wir dies in Gleichung $\text{(II)}$ ein.

$\text{(II)}: kx - 3(2 + 3x) = -5$
Schritt 2
Gleichung vereinfachen und Variable ausklammern
$kx - 6 - 9x = -5 \quad | +6$

$kx - 9x = 1$

Jetzt klammern wir $x$ aus.

$(k - 9) \cdot x = 1$
Schritt 3
Bedingung für Lösungsanzahl festlegen
Wir wollen keine Lösung. Das erreichen wir durch einen Widerspruch, also eine falsche Aussage der Form $0 = 1$ . Damit die linke Seite $0$ wird, muss der Faktor vor dem $x$ null sein.
Schritt 4 · Ergebnis
Parameter bestimmen
Wir setzen den Term vor $x$ gleich null.

$k - 9 = 0 \quad | +9$

$k = 9$

Wenn wir $k=9$ einsetzen, erhalten wir $0 \cdot x = 1$ , was zu $0=1$ führt. Das ist der gewünschte Widerspruch.

Ergebnis:

Für $k=9$ hat das LGS keine Lösung.

Beispiel 2

Aufgabe

Gegeben ist das LGS:

$\text{(I)}: 2x + ay = 4$

$\text{(II)}: 4x + 8y = 8$

Bestimme den Wert für $a$ , für den das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
LGS mit Parameter auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(I)}$ nach $x$ um.

$\text{(I)}: 2x + ay = 4 \quad | -ay$

$2x = 4 - ay \quad | \div 2$

$x = 2 - \frac{a}{2}y$

Nun setzen wir dies in Gleichung $\text{(II)}$ ein.

$\text{(II)}: 4(2 - \frac{a}{2}y) + 8y = 8$
Schritt 2
Gleichung vereinfachen und Variable ausklammern
$8 - 2ay + 8y = 8 \quad | -8$

$-2ay + 8y = 0$

Jetzt klammern wir $y$ aus.

$(-2a + 8) \cdot y = 0$
Schritt 3
Bedingung für Lösungsanzahl festlegen
Wir wollen unendlich viele Lösungen. Das erreichen wir durch eine wahre Aussage der Form $0 = 0$ . Die rechte Seite ist bereits $0$ . Also muss auch die linke Seite immer $0$ sein. Das passiert, wenn der Faktor vor dem $y$ null ist.
Schritt 4 · Ergebnis
Parameter bestimmen
Wir setzen den Term vor $y$ gleich null.

$-2a + 8 = 0 \quad | -8$

$-2a = -8 \quad | \div (-2)$

$a = 4$

Wenn wir $a=4$ einsetzen, erhalten wir $0 \cdot y = 0$ , was zu $0=0$ führt. Das ist die gewünschte wahre Aussage.

Ergebnis:

Für $a=4$ hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispiel 3

Aufgabe

Gegeben ist das LGS:

$\text{(I)}: x - 2y = 3$

$\text{(II)}: -2x + ky = -4$

Bestimme den Wert für $k$ , für den das LGS keine Lösung hat.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
LGS mit Parameter auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(I)}$ nach $x$ um.

$\text{(I)}: x - 2y = 3 \quad | +2y$

$x = 3 + 2y$

Nun setzen wir dies in Gleichung $\text{(II)}$ ein.

$\text{(II)}: -2(3 + 2y) + ky = -4$
Schritt 2
Gleichung vereinfachen und Variable ausklammern
$-6 - 4y + ky = -4 \quad | +6$

$-4y + ky = 2$

Jetzt klammern wir $y$ aus.

$(-4 + k) \cdot y = 2$
Schritt 3
Bedingung für Lösungsanzahl festlegen
Wir wollen keine Lösung. Wir brauchen einen Widerspruch der Form $0 = 2$ . Dafür muss der Faktor vor dem $y$ null sein.
Schritt 4 · Ergebnis
Parameter bestimmen
Wir setzen den Term vor $y$ gleich null.

$-4 + k = 0 \quad | +4$

$k = 4$

Wenn wir $k=4$ einsetzen, erhalten wir $0 \cdot y = 2$ , was zu $0=2$ führt. Das ist ein Widerspruch.

Ergebnis:

Für $k=4$ hat das LGS keine Lösung.

Beispiel 4

Aufgabe

Gegeben ist das LGS:

$\text{(I)}: 5x + y = 10$

$\text{(II)}: kx + 2y = 20$

Bestimme den Wert für $k$ , für den das LGS unendlich viele Lösungen hat.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
LGS mit Parameter auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(I)}$ nach $y$ um.

$\text{(I)}: 5x + y = 10 \quad | -5x$

$y = 10 - 5x$

Nun setzen wir dies in Gleichung $\text{(II)}$ ein.

$\text{(II)}: kx + 2(10 - 5x) = 20$
Schritt 2
Gleichung vereinfachen und Variable ausklammern
$kx + 20 - 10x = 20 \quad | -20$

$kx - 10x = 0$

Jetzt klammern wir $x$ aus.

$(k - 10) \cdot x = 0$
Schritt 3
Bedingung für Lösungsanzahl festlegen
Wir wollen unendlich viele Lösungen. Wir brauchen eine wahre Aussage der Form $0 = 0$ . Die rechte Seite ist bereits $0$ . Also muss auch der Faktor vor dem $x$ null sein.
Schritt 4 · Ergebnis
Parameter bestimmen
Wir setzen den Term vor $x$ gleich null.

$k - 10 = 0 \quad | +10$

$k = 10$

Wenn wir $k=10$ einsetzen, erhalten wir $0 \cdot x = 0$ , was zu $0=0$ führt. Das ist eine wahre Aussage.

Ergebnis:

Für $k=10$ hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispiel 5

Aufgabe

Gegeben ist das LGS:

$\text{(I)}: 3x - 6y = 9$

$\text{(II)}: -x + 2y = k$

Bestimme den Wert für $k$ , für den das LGS keine Lösung hat.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
LGS mit Parameter auflösen
Wir stellen Gleichung $\text{(II)}$ nach $x$ um.

$\text{(II)}: -x + 2y = k \quad | -2y$

$-x = k - 2y \quad | \cdot (-1)$

$x = -k + 2y$

Nun setzen wir dies in Gleichung $\text{(I)}$ ein.

$\text{(I)}: 3(-k + 2y) - 6y = 9$
Schritt 2
Gleichung vereinfachen
$-3k + 6y - 6y = 9$

$-3k = 9$

Hier sind die Variablen bereits weggefallen! Die Gleichung hängt nur noch von $k$ ab.
Schritt 3
Bedingung für Lösungsanzahl festlegen
Wir wollen keine Lösung. Das bedeutet, die verbleibende Gleichung $-3k = 9$ muss ein Widerspruch sein. Denken wir andersherum: Wann hat das System unendlich viele Lösungen? Wenn eine wahre Aussage entsteht, z.B. $9=9$ . Das würde hier passieren, wenn $-3k = 9$ wäre. Lösen wir das:

$-3k = 9 \quad | \div (-3)$

$k = -3$

Für $k=-3$ hat das System also unendlich viele Lösungen. Für jeden anderen Wert von $k$ ist die Aussage $-3k = 9$ falsch. Zum Beispiel, wenn $k=1$ , steht da $-3=9$ , was ein Widerspruch ist.
Schritt 4 · Ergebnis
Parameter bestimmen
Wir suchen den Fall ohne Lösung. Das tritt für alle $k \neq -3$ auf.

Ergebnis:

Für $k \neq -3$ hat das LGS keine Lösung.

Wichtige Erkenntnisse

Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und in die andere Gleichung einsetzen.
Eine Lösung: Du erhältst einen eindeutigen Wert für eine Variable (z.B. $x=5$ ).
Keine Lösung: Alle Variablen fallen weg und es bleibt eine falsche Aussage (ein Widerspruch), z.B. $2=7$ .
Unendlich viele Lösungen: Alle Variablen fallen weg und es bleibt eine wahre Aussage, z.B. $7=7$ .
Parameter-Aufgaben: Behandle den Parameter wie eine Zahl. Am Ende wählst du seinen Wert so, dass ein Widerspruch (keine Lösung) oder eine wahre Aussage (unendlich viele Lösungen) entsteht.

LGS Anzahl der Lösungen: Einsetzungsverfahren erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: LGS mit genau einer Lösung

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: LGS ohne Lösung

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: LGS mit unendlich vielen Lösungen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: LGS mit Parameter

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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