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Die Kettenregel beim Ableiten einfach erklärt
Die Kettenregel beim Ableiten sorgt oft für Verwirrung in der Schule. Hier lernst du ganz einfach, wie du jede verkettete Funktion ableiten kannst!
Definition
Erklärung
Die Kettenregel wird verwendet, um eine verkettete Funktion ableiten zu können. Eine verkettete Funktion besteht aus einer äußeren Funktion und einer inneren Funktion. Die Kettenregel besagt, dass du zuerst die äußere Funktion ableitest und anschließend mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizierst. Die Kettenregel Formel lautet:
Die Kettenregel Formel lautet:
f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)
Schema
Vorgehen
Um eine verkettete Funktion ableiten zu können, gehst du wie folgt vor:
1. Bestimme die äußere Funktion u und die innere Funktion v.
2. Leite die äußere Funktion u nach v ab.
3. Leite die innere Funktion v nach x ab.
4. Multipliziere beide Ableitungen miteinander, um die Ableitung der verketteten Funktion zu erhalten.
f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)
Beispiele
- Leite die Funktion f(x) = (3x + 2)^2 ab.
- Äußere Funktion: u(v) = v^2, innere Funktion: v(x) = 3x + 2.
u'(v) = 2v, v'(x) = 3.
f'(x) = 2 \cdot (3x + 2) \cdot 3 = 6 \cdot (3x + 2).
- Leite die Funktion f(x) = sin(4x^2) ab.
- Äußere Funktion: u(v) = sin(v), innere Funktion: v(x) = 4x^2.
u'(v) = cos(v), v'(x) = 8x.
f'(x) = cos(4x^2) \cdot 8x = 8x \cdot cos(4x^2).
Zusammenfassung
Merkkasten
- Die Kettenregel wird verwendet, um verkettete Funktionen abzuleiten.
- Ableitung der äußeren Funktion multipliziert mit Ableitung der inneren Funktion ergibt die Gesamt-Ableitung.
Üben
Aufgaben
- Leite die Funktion f(x) = (5x - 1)^3 ab.
- Äußere Funktion: u(v) = v^3, innere Funktion: v(x) = 5x - 1.
u'(v) = 3v^2, v'(x) = 5.
f'(x) = 3 \cdot (5x - 1)^2 \cdot 5 = 15 \cdot (5x - 1)^2.
- Leite die Funktion f(x) = \sqrt{2x^3 + 4} ab.
- Äußere Funktion: u(v) = \sqrt{v} = v^{1/2}, innere Funktion: v(x) = 2x^3 + 4.
u'(v) = \frac{1}{2\sqrt{v}}, v'(x) = 6x^2.
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^3 + 4}} \cdot 6x^2 = \frac{3x^2}{\sqrt{2x^3 + 4}}.
- Leite die Funktion f(x) = e^{sin(3x^2)} ab.
- Äußere Funktion: u(v) = e^v, innere Funktion: v(x) = sin(3x^2).
u'(v) = e^v, v'(x) = cos(3x^2) \cdot 6x.
f'(x) = e^{sin(3x^2)} \cdot cos(3x^2) \cdot 6x = 6x \cdot cos(3x^2) \cdot e^{sin(3x^2)}.
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