Was ist eine indirekt proportionale Zuordnung?

Eine indirekt proportionale Zuordnung (auch antiproportionale Zuordnung genannt) beschreibt den Zusammenhang „Je mehr vom einen, desto weniger vom anderen". Das Kennzeichen ist die Produktgleichheit : Das Produkt aus je zwei zusammengehörigen Werten x und y ist immer konstant – also x · y = k . Typische Beispiele sind Geschwindigkeit und Reisezeit bei gleichbleibender Strecke oder die Aufteilung eines Geldbetrags auf mehrere Personen.

Wie prüfst du, ob eine Wertetabelle indirekt proportional ist?

Du prüfst indirekte Proportionalität, indem du für jede Spalte der Wertetabelle das Produkt x · y berechnest. Sind alle Produkte identisch , ist die Zuordnung indirekt proportional. Weicht auch nur ein einziges Produkt ab, handelt es sich nicht um eine indirekt proportionale Zuordnung. Die gleichbleibende Zahl heißt Proportionalitätskonstante k .

Wie berechnest du fehlende Werte in einer indirekt proportionalen Tabelle?

Suche zuerst eine vollständige Spalte (beide Werte bekannt) und berechne damit die Konstante k = x · y . Für jede Lücke stellst du dann die Gleichung x · y = k auf, setzt den bekannten Wert ein und teilst k durch diesen Wert. Wiederhole diesen Schritt für alle weiteren fehlenden Werte in der Tabelle.

Was ist der Unterschied zwischen direkter und indirekter Proportionalität?

Bei der direkten Proportionalität gilt: y / x = m (konstanter Quotient) – je größer x , desto größer y . Bei der indirekten Proportionalität gilt dagegen: x · y = k (konstantes Produkt) – je größer x , desto kleiner y . Kurz gesagt: direkt bedeutet „Je mehr, desto mehr", indirekt bedeutet „Je mehr, desto weniger".

Was ist die Proportionalitätskonstante k bei der indirekten Proportionalität?

Die Proportionalitätskonstante k ist die gleichbleibende Zahl, die entsteht, wenn du bei einer indirekt proportionalen Zuordnung zwei zusammengehörige Werte multiplizierst: k = x · y . Sie beschreibt zum Beispiel den Gesamtbetrag einer Geldsumme oder den Gesamtflächeninhalt eines Rechtecks. Sobald du k kennst, kannst du jeden beliebigen fehlenden Wert in der Tabelle berechnen.

Indirekte Proportionalität: Wertetabelle

Stell dir vor, du planst eine Party und hast ein festes Budget für Snacks. Je mehr Freunde du einlädst, desto weniger Snacks gibt es pro Person. Oder denk an eine lange Autofahrt: Je schneller du fährst, desto weniger Zeit brauchst du. Das ist indirekte Proportionalität – sozusagen der „Je mehr, desto weniger"-Trick des Lebens. Wenn du ihn verstehst, kannst du super schnell ausrechnen, wie sich Dinge verändern. Das ist nicht nur für die Schule nützlich, sondern auch ein echter Life-Hack, um fair zu teilen oder Pläne zu schmieden. In diesem Artikel lernst du, wie du eine indirekt proportionale Zuordnung anhand von Zahlenpaaren in einer Wertetabelle erkennst und fehlende Werte berechnest.

Schnellantwort

Eine indirekt proportionale Zuordnung (auch antiproportionale Zuordnung genannt) liegt vor, wenn das Produkt aus je zwei zusammengehörigen Werten x und y immer gleich ist: x · y = k. Diese gleichbleibende Zahl k heißt Proportionalitätskonstante. Je größer x wird, desto kleiner wird y – und umgekehrt.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz zwei wichtige Grundlagen:

Wertetabelle: Eine Tabelle, die zusammengehörige Wertepaare anzeigt. Die obere Zeile ist meist der x-Wert, die untere der zugehörige y-Wert.
- Beispiel:
  
  $\begin{array}{l|c|c|c} x & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 5 & 10 & 15 \end{array}$
  
  Hier gehört zum x-Wert 2 der y-Wert 10.
Gleichungen durch Division lösen: Wenn du eine Gleichung wie $Zahl \cdot x = Ergebnis$ hast, findest du $x$ , indem du das Ergebnis durch die Zahl teilst.
- Beispiel:
  
  $4 \cdot x = 20$
  
  $x = 20 \div 4$
  
  $x = 5$

Aufgabentyp 1: Prüfen, ob eine Zuordnung indirekt proportional ist

Eine Zuordnung ist indirekt proportional (manchmal auch antiproportional genannt), wenn für jedes Wertepaar das Gleiche gilt: „Je mehr vom einen, desto weniger vom anderen".

Die wichtigste Regel dafür lautet: Das Produkt aus den zusammengehörigen Werten x und y ist immer gleich. Diese gleichbleibende Zahl nennen wir die Proportionalitätskonstante k.

Die Formel lautet:

x · y = k (konstant)

Um zu prüfen, ob eine Tabelle eine indirekte Proportionalität darstellt, musst du also nur für jede Spalte das Produkt ausrechnen. Wenn alle Produkte identisch sind, ist die Zuordnung indirekt proportional.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Erstes Wertepaar nehmen: Nimm dir die erste Spalte der Tabelle und identifiziere das erste Wertepaar (x | y).
Produkt berechnen: Multipliziere die beiden Werte miteinander: x · y. Merke dir das Ergebnis.
Nächstes Wertepaar prüfen: Nimm die nächste Spalte und berechne auch hier das Produkt.
Produkte vergleichen: Vergleiche das neue Produkt mit dem vorherigen. Sind sie gleich, mach weiter mit der nächsten Spalte. Sind sie ungleich, ist die Zuordnung nicht indirekt proportional.
Fazit ziehen: Wenn du alle Spalten durchgegangen bist und alle Produkte gleich waren, dann ist die Zuordnung indirekt proportional.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Überprüfe, ob die Zuordnung in der Tabelle indirekt proportional ist.

$\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Anzahl Arbeiter (x)} & 2 & 4 & 8 & 10 \\ \hline \text{Zeit in Stunden (y)} & 20 & 10 & 5 & 4 \end{array}$

Fortschritt

1 / 1

Schritt 1 & 2 · Ergebnis
Produkte berechnen
Wir berechnen für jedes Wertepaar das Produkt x · y.

1. Paar:

$2 \cdot 20 = 40$

2. Paar:

$4 \cdot 10 = 40$

3. Paar:

$8 \cdot 5 = 40$

4. Paar:

$10 \cdot 4 = 40$

Ergebnis:

Alle Produkte sind gleich 40. Daher ist die Zuordnung indirekt proportional.

Beispiel 2

Aufgabe

Ist die folgende Zuordnung von Geschwindigkeit zu Zeit indirekt proportional?

$\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Geschwindigkeit in km/h (x)} & 50 & 80 & 100 & 120 \\ \hline \text{Zeit in Stunden (y)} & 4 & 2.5 & 2 & 1.5 \end{array}$

Fortschritt

1 / 1

Schritt 1 & 2 · Ergebnis
Produkte berechnen
Wir prüfen, ob das Produkt x · y konstant ist.

1. Paar:

$50 \cdot 4 = 200$

2. Paar:

$80 \cdot 2.5 = 200$

3. Paar:

$100 \cdot 2 = 200$

4. Paar:

$120 \cdot 1.5 = 180$

Ergebnis:

Das letzte Produkt (180) ist anders als die anderen (200). Daher ist die Zuordnung nicht indirekt proportional.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Vorrat an Tierfutter reicht für eine bestimmte Anzahl von Tieren eine gewisse Zeit. Prüfe, ob die Zuordnung indirekt proportional ist.

$\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Anzahl Tiere (x)} & 5 & 10 & 15 & 20 \\ \hline \text{Tage (y)} & 60 & 30 & 20 & 15 \end{array}$

Fortschritt

1 / 1

Schritt 1 & 2 · Ergebnis
Produkte berechnen
Wir berechnen die Produkte x · y.

1. Paar:

$5 \cdot 60 = 300$

2. Paar:

$10 \cdot 30 = 300$

3. Paar:

$15 \cdot 20 = 300$

4. Paar:

$20 \cdot 15 = 300$

Ergebnis:

Alle Produkte sind gleich 300. Die Zuordnung ist indirekt proportional.

Beispiel 4

Aufgabe

Überprüfe die folgende Wertetabelle auf indirekte Proportionalität.

$\begin{array}{l|c|c|c|c} x & 3 & 6 & 9 & 12 \\ \hline y & 12 & 6 & 4 & 2 \end{array}$

Fortschritt

1 / 1

Schritt 1 & 2 · Ergebnis
Produkte berechnen
Wir berechnen die Produkte x · y für jede Spalte.

1. Paar:

$3 \cdot 12 = 36$

2. Paar:

$6 \cdot 6 = 36$

3. Paar:

$9 \cdot 4 = 36$

4. Paar:

$12 \cdot 2 = 24$

Ergebnis:

Da 24 nicht gleich 36 ist, ist die Zuordnung nicht indirekt proportional.

Beispiel 5

Aufgabe

Eine Geldsumme wird auf eine Anzahl von Gewinnern aufgeteilt. Ist die Zuordnung indirekt proportional?

$\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Anzahl Gewinner (x)} & 1 & 2 & 4 & 10 \\ \hline \text{Gewinn pro Person in € (y)} & 1000 & 500 & 250 & 100 \end{array}$

Fortschritt

1 / 1

Schritt 1 & 2 · Ergebnis
Produkte berechnen
Wir prüfen, ob das Produkt aus Anzahl Gewinner und Gewinn pro Person konstant ist.

1. Paar:

$1 \cdot 1000 = 1000$

2. Paar:

$2 \cdot 500 = 1000$

3. Paar:

$4 \cdot 250 = 1000$

4. Paar:

$10 \cdot 100 = 1000$

Ergebnis:

Alle Produkte ergeben 1000. Die Zuordnung ist indirekt proportional.

Aufgabentyp 2: Fehlende Werte in einer indirekt proportionalen Tabelle ergänzen

Wenn du bereits weißt, dass eine Zuordnung indirekt proportional ist, kannst du diese Information nutzen, um fehlende Werte in einer Tabelle zu finden.

Der Trick ist wieder die konstante Produktgleichheit: x · y = k.

Du suchst dir zuerst ein vollständiges Wertepaar aus der Tabelle, berechnest damit die Konstante k und verwendest diese dann, um alle Lücken zu füllen. Jedes Wertepaar in der Tabelle muss am Ende das gleiche Produkt k ergeben.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Vollständiges Wertepaar finden: Suche in der Tabelle eine Spalte, in der beide Werte (x und y) gegeben sind.
Konstantes Produkt (k) berechnen: Multipliziere die beiden Werte aus dem vollständigen Paar. Das Ergebnis ist deine Proportionalitätskonstante k. Dieses Produkt muss für alle anderen Paare auch gelten.
Gleichung für die Lücke aufstellen: Nimm eine Spalte mit einem fehlenden Wert. Schreibe die Gleichung x · y = k auf und setze den bekannten Wert und deine berechnete Konstante k ein.
Gleichung lösen: Löse die Gleichung nach dem unbekannten Wert auf. Das machst du, indem du die Konstante k durch den gegebenen Wert teilst.
Wiederholen: Führe die Schritte 3 und 4 für alle weiteren Lücken in der Tabelle durch.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die folgende Tabelle stellt eine indirekte Proportionalität dar. Ergänze den fehlenden Wert.

$\begin{array}{l|c|c|c|c} x & 2 & 4 & 8 & 16 \\ \hline y & 24 & 12 & ? & 3 \end{array}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Konstantes Produkt k berechnen
Wir nehmen ein vollständiges Paar, z. B. das erste (2 | 24).

$k = 2 \cdot 24 = 48$

Das konstante Produkt ist 48.
Schritt 3
Gleichung für die Lücke aufstellen
Die Lücke ist bei x = 8. Wir nennen den fehlenden Wert y.

$8 \cdot y = 48$
Schritt 4 · Ergebnis
Gleichung lösen
Wir teilen durch 8, um y zu finden.

$y = 48 \div 8$

$y = 6$

Ergebnis:

Der fehlende Wert ist 6.

Beispiel 2

Aufgabe

Eine bestimmte Arbeit wird von einer Anzahl von Maschinen in einer gewissen Zeit erledigt. Die Zuordnung ist indirekt proportional. Fülle die Lücken in der Tabelle.

$\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Anzahl Maschinen (x)} & 3 & ? & 9 & 12 \\ \hline \text{Zeit in Tagen (y)} & 12 & 6 & 4 & ? \end{array}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Konstantes Produkt k berechnen
Wir nehmen das erste vollständige Paar (3 | 12).

$k = 3 \cdot 12 = 36$

Die Konstante ist 36.
Schritt 3 & 4
Lücke 1 lösen (bei y = 6)
$x \cdot 6 = 36$

$x = 36 \div 6 = 6$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Lücke 2 lösen (bei x = 12)
$12 \cdot y = 36$

$y = 36 \div 12 = 3$

Ergebnis:

Die fehlenden Werte sind 6 und 3.

Beispiel 3

Aufgabe

Die Kosten für einen Ausflug werden auf die Teilnehmer aufgeteilt. Die Zuordnung ist indirekt proportional. Ergänze die Tabelle.

$\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Anzahl Teilnehmer (x)} & 10 & 20 & ? & 50 \\ \hline \text{Kosten pro Person in € (y)} & 40 & ? & 16 & ? \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Konstantes Produkt k berechnen
Wir nutzen das erste Paar (10 | 40).

$k = 10 \cdot 40 = 400$

Die Gesamtkosten sind 400 €.
Schritt 3 & 4
Lücke 1 lösen (bei x = 20)
$20 \cdot y = 400$

$y = 400 \div 20 = 20$
Schritt 3 & 4
Lücke 2 lösen (bei y = 16)
$x \cdot 16 = 400$

$x = 400 \div 16 = 25$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Lücke 3 lösen (bei x = 50)
$50 \cdot y = 400$

$y = 400 \div 50 = 8$

Ergebnis:

Die fehlenden Werte sind 20, 25 und 8.

Beispiel 4

Aufgabe

Vervollständige die folgende Tabelle, die eine indirekt proportionale Zuordnung darstellt.

$\begin{array}{l|c|c|c|c} x & 0.5 & 1 & 2 & ? \\ \hline y & ? & 50 & 25 & 10 \end{array}$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1 & 2
Konstantes Produkt k berechnen
Wir können das zweite (1 | 50) oder dritte (2 | 25) Paar nehmen. Nehmen wir das zweite.

$k = 1 \cdot 50 = 50$

Die Konstante ist 50.
Schritt 3 & 4
Lücke 1 lösen (bei x = 0,5)
$0.5 \cdot y = 50$

$y = 50 \div 0.5 = 100$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Lücke 2 lösen (bei y = 10)
$x \cdot 10 = 50$

$x = 50 \div 10 = 5$

Ergebnis:

Die fehlenden Werte sind 100 und 5.

Beispiel 5

Aufgabe

Die Breite und Länge von Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt sind indirekt proportional zueinander. Ergänze die Tabelle für einen Flächeninhalt von 72 cm².

$\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Breite in cm (x)} & 2 & ? & 8 & 12 \\ \hline \text{Länge in cm (y)} & ? & 24 & 9 & ? \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Konstantes Produkt k berechnen
Der Flächeninhalt ist das Produkt aus Breite und Länge. Er ist mit 72 cm² gegeben. Also ist k = 72. Wir können das auch mit dem Paar (8 | 9) überprüfen: $8 \cdot 9 = 72$ .
Schritt 3 & 4
Lücke 1 lösen (bei x = 2)
$2 \cdot y = 72$

$y = 72 \div 2 = 36$
Schritt 3 & 4
Lücke 2 lösen (bei y = 24)
$x \cdot 24 = 72$

$x = 72 \div 24 = 3$
Schritt 3 & 4 · Ergebnis
Lücke 3 lösen (bei x = 12)
$12 \cdot y = 72$

$y = 72 \div 12 = 6$

Ergebnis:

Die fehlenden Werte sind 36, 3 und 6.

Wichtige Erkenntnisse

Indirekte Proportionalität bedeutet: „Je mehr vom einen, desto weniger vom anderen".
Die Schlüsselregel ist die Produktgleichheit: Das Produkt x · y ist für alle Wertepaare konstant (immer die gleiche Zahl k).
Zum Überprüfen: Berechne das Produkt für alle Spalten. Wenn auch nur ein Ergebnis abweicht, ist es keine indirekte Proportionalität.
Zum Ergänzen: Finde ein vollständiges Paar, berechne das konstante Produkt k und löse dann die Gleichung x · y = k für jede Lücke.

Indirekte Proportionalität einfach erklärt: Wertetabelle

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Prüfen, ob eine Zuordnung indirekt proportional ist

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Fehlende Werte in einer indirekt proportionalen Tabelle ergänzen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

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