Was sind Gleichungen und warum sind sie wichtig?

Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht: Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens muss der Wert gleich sein. Du findest heraus, welchen Wert die unbekannte Zahl (z. B. x ) haben muss, damit das Gleichgewicht stimmt. Gleichungen lösen ist nicht nur Schulmathematik – du brauchst dieses Prinzip überall, wo du systematisch einen unbekannten Wert ermitteln willst, zum Beispiel bei Preisvergleichen oder fairen Kostenaufteilungen.

Wie funktioniert die Umkehroperation beim Gleichungen lösen?

Die Umkehroperation macht eine Rechenart rückgängig: Addition wird zu Subtraktion, Multiplikation wird zu Division – und umgekehrt. Du schaust dir an, welche Operation die Unbekannte mit einer anderen Zahl verbindet, und wendest dann die Gegenoperation an, um die Unbekannte allein auf eine Seite zu bringen. Aus 7 · x = 42 wird so x = 42 : 7 = 6 .

Wie löst du Textaufgaben mit ungleicher Verteilung?

Bei ungleicher Verteilung nutzt du die Anteile-Methode : Bestimme zuerst, wie viele Anteile jede Person bekommt (die kleinste Menge = 1 Anteil). Zähle dann alle Anteile zusammen und teile die Gesamtmenge durch diese Zahl – so erhältst du den Wert eines Anteils. Multipliziere anschließend diesen Wert mit den jeweiligen Anteilen jeder Person. Am Ende prüfst du mit der Probe, ob die Summe wieder die Gesamtmenge ergibt.

Wie gehst du bei mehrstufigen Textaufgaben mit zwei Unbekannten vor?

Lies die Aufgabe sehr genau und schreibe alle Zahlen und Bedingungen heraus. Ziehe zuerst alle festen Kosten vom Gesamtpreis ab. Finde dann den Satz, der die beiden Unbekannten verbindet, und rechne alles in die günstigere Einheit um. Teile den vereinfachten Preis durch die Gesamtzahl der Einheiten – das ergibt den Preis der günstigeren Unbekannten. Den Preis der teureren Unbekannten berechnest du dann mit der bekannten Beziehung.

Warum solltest du bei Textaufgaben immer eine Probe machen?

Die Probe zeigt dir, ob dein Ergebnis wirklich stimmt. Du setzt deine berechneten Werte in die ursprüngliche Aufgabe ein und schaust, ob sich die angegebene Gesamtmenge oder der Gesamtpreis ergibt. Stimmt die Probe, ist die Lösung korrekt. Stimmt sie nicht, weißt du sofort, dass du einen Fehler gemacht hast – und kannst ihn noch vor der Abgabe in der Prüfung korrigieren.

Gleichungen lösen & Textaufgaben

Gleichungen lösen und Textaufgaben knacken ist keine abstrakte Mathe-Quälerei, sondern ein echtes Werkzeug. Ob du herausfindest, ob ein Handy-Vertrag wirklich ein gutes Angebot ist, die Kosten für eine Party fair aufteilst oder einfach in der nächsten Prüfung die volle Punktzahl holst – das Prinzip ist immer dasselbe. Hier lernst du die „Hacks", um den Rechenweg systematisch zu finden, ohne raten zu müssen. Sieh es als Training für dein Gehirn, um Probleme jeder Art zu zerlegen und zu lösen. Diese Fähigkeit wirst du überall brauchen.

Vorwissen

Bevor wir starten, solltest du mit den vier Grundrechenarten vertraut sein:

Addition (+): Das Zusammenzählen von Zahlen.
- Beispiel: $5 + 3 = 8$
Subtraktion (-): Das Abziehen einer Zahl von einer anderen.
- Beispiel: $10 - 4 = 6$
Multiplikation (·): Das Malnehmen von Zahlen.
- Beispiel: $7 \cdot 3 = 21$
Division (:): Das Teilen einer Zahl durch eine andere.
- Beispiel: $20 : 4 = 5$

Aufgabentyp 1: Einfache Gleichungen mit einer Unbekannten lösen

Eine Gleichung ist wie eine Waage, die im Gleichgewicht ist. Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens ( $=$ ) muss der Wert genau gleich sein.

Waage im Gleichgewicht als Symbol für eine Gleichung

Unsere Aufgabe ist es, herauszufinden, welchen Wert die unbekannte Zahl (oft als x oder □ dargestellt) haben muss, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt. Der Trick dabei ist die Umkehroperation. Jede Rechenart hat eine Gegenoperation, die sie rückgängig macht:

Die Umkehroperation von Addition (+) ist Subtraktion (-).
Die Umkehroperation von Subtraktion (-) ist Addition (+).
Die Umkehroperation von Multiplikation (·) ist Division (:).
Die Umkehroperation von Division (:) ist Multiplikation (·).

Um die Unbekannte allein auf einer Seite zu bekommen, wenden wir die passende Umkehroperation an.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gleichung ansehen: Schau dir die Gleichung an und finde heraus, welche Rechenoperation die unbekannte Zahl mit der anderen Zahl verbindet.
Umkehroperation bestimmen: Bestimme die passende Umkehroperation, um die Rechenoperation aus Schritt 1 rückgängig zu machen.
Gleichung umformen: Wende die Umkehroperation an, um die Gleichung so umzustellen, dass die Unbekannte allein auf einer Seite steht.
Ergebnis ausrechnen: Rechne das Ergebnis aus.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Finde die Zahl, die für x eingesetzt werden muss: $7 \cdot x = 42$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung ansehen
Die Operation ist Multiplikation (·).
Schritt 2
Umkehroperation bestimmen
Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division (:).
Schritt 3
Gleichung umformen
Um x allein zu bekommen, teilen wir das Ergebnis (42) durch die bekannte Zahl (7).

$x = 42 : 7$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis ausrechnen
$x = 6$

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $x = 6$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Finde die Zahl, die für das Kästchen eingesetzt werden muss: $\square - 15 = 30$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung ansehen
Die Operation ist Subtraktion (-).
Schritt 2
Umkehroperation bestimmen
Die Umkehroperation zur Subtraktion ist die Addition (+).
Schritt 3
Gleichung umformen
Um das Kästchen allein zu bekommen, addieren wir die 15 zum Ergebnis (30).

$\square = 30 + 15$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis ausrechnen
$\square = 45$

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $\square = 45$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Finde die Zahl, die für x eingesetzt werden muss: $63 : x = 9$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung ansehen
Die Operation ist Division (:), aber die Unbekannte ist der Teiler. Das ist ein Sonderfall!
Schritt 2
Logisch überlegen
Wenn 63 geteilt durch x gleich 9 ist, dann ist 63 geteilt durch 9 gleich x. Wir können die Plätze von x und 9 tauschen.
Schritt 3
Gleichung umformen
$x = 63 : 9$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis ausrechnen
$x = 7$

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $x = 7$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Finde die Zahl, die für das Kästchen eingesetzt werden muss: $50 - \square = 22$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung ansehen
Die Operation ist Subtraktion (-), aber die Unbekannte wird abgezogen. Das ist ein Sonderfall!
Schritt 2
Logisch überlegen
Wenn wir von 50 eine unbekannte Zahl abziehen und 22 erhalten, finden wir die unbekannte Zahl, indem wir 22 von 50 abziehen.
Schritt 3
Gleichung umformen
$\square = 50 - 22$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis ausrechnen
$\square = 28$

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $\square = 28$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Finde die Zahl, die für x eingesetzt werden muss: $x : 8 = 5$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Gleichung ansehen
Die Operation ist Division (:).
Schritt 2
Umkehroperation bestimmen
Die Umkehroperation zur Division ist die Multiplikation (·).
Schritt 3
Gleichung umformen
Um x allein zu bekommen, multiplizieren wir das Ergebnis (5) mit dem Teiler (8).

$x = 5 \cdot 8$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis ausrechnen
$x = 40$

Ergebnis:

Die gesuchte Zahl ist $x = 40$ .

Aufgabentyp 2: Preis pro Einheit aus Sachzusammenhängen berechnen

Im Alltag müssen wir oft ausrechnen, wie viel eine einzelne Sache kostet, wenn wir nur den Gesamtpreis kennen. Das nennt man den Preis pro Einheit. Typische Signalwörter in Textaufgaben dafür sind:

„... wird gleichmäßig aufgeteilt."
„Wie viel kostet ein/e ...?"
„Welcher Betrag entfällt auf jede/n ...?"

Immer wenn du so etwas liest, weißt du, dass du teilen musst. Du teilst immer die Gesamtmenge (z. B. den Gesamtpreis) durch die Anzahl der Teile (z. B. die Anzahl der Personen oder Produkte).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Informationen aus dem Text entnehmen: Lies die Aufgabe genau und finde die beiden wichtigen Zahlen: die Gesamtmenge und die Anzahl der Teile.
Divisionsaufgabe aufstellen: Schreibe die Rechenaufgabe auf. Die Formel lautet immer: Wert pro Einheit = Gesamtmenge : Anzahl der Teile.
Ausrechnen: Löse die Divisionsaufgabe.
Antwortsatz formulieren: Schreibe einen klaren Satz, der die Frage aus der Aufgabenstellung beantwortet. Vergiss die Einheiten nicht (z. B. €).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Schulklasse mit 25 Schülern sammelt bei einem Spendenlauf insgesamt 500 €. Welcher Betrag wurde durchschnittlich pro Schüler gesammelt?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Informationen aus dem Text entnehmen
- Gesamtmenge: 500 €
- Anzahl der Teile: 25 Schüler
Schritt 2
Divisionsaufgabe aufstellen
Betrag pro Schüler = $500 € : 25$
Schritt 3
Ausrechnen
$500 : 25 = 20$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwortsatz formulieren
Durchschnittlich wurden pro Schüler 20 € gesammelt.

Ergebnis:

Pro Schüler wurden durchschnittlich 20 € gesammelt.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Buch hat 360 Seiten. Lisa möchte es in 12 Tagen lesen. Wie viele Seiten muss sie pro Tag im Durchschnitt lesen?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Informationen aus dem Text entnehmen
- Gesamtmenge: 360 Seiten
- Anzahl der Teile: 12 Tage
Schritt 2
Divisionsaufgabe aufstellen
Seiten pro Tag = $360 : 12$
Schritt 3
Ausrechnen
$360 : 12 = 30$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwortsatz formulieren
Lisa muss im Durchschnitt 30 Seiten pro Tag lesen.

Ergebnis:

Lisa muss täglich 30 Seiten lesen.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Auto fährt eine Strecke von 450 km in 5 Stunden. Wie viele Kilometer legt es durchschnittlich pro Stunde zurück?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Informationen aus dem Text entnehmen
- Gesamtmenge: 450 km
- Anzahl der Teile: 5 Stunden
Schritt 2
Divisionsaufgabe aufstellen
Kilometer pro Stunde = $450 \text{ km} : 5 \text{ h}$
Schritt 3
Ausrechnen
$450 : 5 = 90$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwortsatz formulieren
Das Auto legt durchschnittlich 90 km pro Stunde zurück.

Ergebnis:

Das Auto fährt durchschnittlich 90 km/h.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Bäcker verpackt 180 Brötchen in Tüten zu je 6 Stück. Wie viele Tüten kann er füllen?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Informationen aus dem Text entnehmen
- Gesamtmenge: 180 Brötchen
- Anzahl der Teile: 6 Brötchen pro Tüte
Schritt 2
Divisionsaufgabe aufstellen
Anzahl der Tüten = $180 : 6$
Schritt 3
Ausrechnen
$180 : 6 = 30$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwortsatz formulieren
Er kann 30 Tüten füllen.

Ergebnis:

Der Bäcker kann 30 Tüten füllen.

Beispiel 5

Aufgabe

Für eine Party werden 15 Liter Saft gekauft. Der Saft soll auf 50 Gläser gleichmäßig verteilt werden. Wie viel Milliliter Saft ist in jedem Glas? (Hinweis: 1 Liter = 1000 Milliliter)

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Informationen aus dem Text entnehmen
- Gesamtmenge: 15 Liter. Wir rechnen das zuerst in Milliliter um: $15 \cdot 1000 = 15000$ ml.
- Anzahl der Teile: 50 Gläser
Schritt 2
Divisionsaufgabe aufstellen
Milliliter pro Glas = $15000 \text{ ml} : 50$
Schritt 3
Ausrechnen
$15000 : 50 = 1500 : 5 = 300$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwortsatz formulieren
In jedem Glas sind 300 ml Saft.

Ergebnis:

In jedem Glas sind 300 ml Saft.

Aufgabentyp 3: Textaufgaben mit ungleicher Verteilung lösen

Manchmal werden Dinge nicht ganz fair geteilt. Eine Person bekommt mehr, eine andere weniger. Um solche Aufgaben zu lösen, benutzen wir einen Trick: die Idee der Anteile.

Stell dir vor, du teilst eine Pizza. Wenn eine Person „doppelt so viel" bekommt wie eine andere, bedeutet das, sie bekommt zwei Stücke (2 Anteile), während die andere nur ein Stück (1 Anteil) bekommt.

Wir rechnen zuerst aus, wie groß ein einzelner Anteil ist. Danach können wir ganz einfach ausrechnen, wer wie viel bekommt.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Anteile bestimmen: Lies die Aufgabe und überlege, wie viele Anteile jede Person oder Gruppe bekommt. Die kleinste Menge ist meistens 1 Anteil.
Gesamtanzahl der Anteile berechnen: Zähle alle Anteile zusammen.
Wert eines Anteils berechnen: Teile die Gesamtmenge durch die Gesamtanzahl der Anteile. Das Ergebnis ist der Wert von einem Anteil.
Endgültige Mengen berechnen: Multipliziere den Wert eines Anteils mit der Anzahl der Anteile, die jede Person oder Gruppe bekommt.
Probe: Addiere alle berechneten Mengen. Die Summe muss wieder die ursprüngliche Gesamtmenge ergeben.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Drei Geschwister, Anna, Ben und Clara, sollen 90 € aufteilen. Ben soll doppelt so viel bekommen wie Anna. Clara soll dreimal so viel bekommen wie Anna. Wie viel Geld bekommt jeder?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Anteile bestimmen
- Anna bekommt die kleinste Menge, also 1 Anteil.
- Ben bekommt doppelt so viel wie Anna, also 2 Anteile.
- Clara bekommt dreimal so viel wie Anna, also 3 Anteile.
Schritt 2
Gesamtanzahl der Anteile berechnen
$1 + 2 + 3 = 6 \text{ Anteile}$
Schritt 3
Wert eines Anteils berechnen
Wir teilen die Gesamtmenge durch die Anzahl der Anteile.

$90 € : 6 = 15 €$

Ein Anteil ist also 15 € wert.
4
Schritt 4
Endgültige Mengen berechnen
- Anna (1 Anteil): $1 \cdot 15 € = 15 €$
- Ben (2 Anteile): $2 \cdot 15 € = 30 €$
- Clara (3 Anteile): $3 \cdot 15 € = 45 €$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe
$15 € + 30 € + 45 € = 90 €$ . Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

Anna erhält 15 €, Ben 30 € und Clara 45 €.

Beispiel 2

Aufgabe

In einem Tierheim werden 140 kg Futter auf Hunde und Katzen verteilt. Die Hunde erhalten zusammen sechsmal so viel Futter wie die Katzen. Wie viel kg Futter bekommen die Hunde und wie viel die Katzen?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Anteile bestimmen
- Die Katzen bekommen die kleinere Menge, also 1 Anteil.
- Die Hunde bekommen sechsmal so viel, also 6 Anteile.
Schritt 2
Gesamtanzahl der Anteile berechnen
$1 + 6 = 7 \text{ Anteile}$
Schritt 3
Wert eines Anteils berechnen
$140 \text{ kg} : 7 = 20 \text{ kg}$

Ein Anteil entspricht 20 kg Futter.
4
Schritt 4
Endgültige Mengen berechnen
- Katzen (1 Anteil): $1 \cdot 20 \text{ kg} = 20 \text{ kg}$
- Hunde (6 Anteile): $6 \cdot 20 \text{ kg} = 120 \text{ kg}$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe
$20 \text{ kg} + 120 \text{ kg} = 140 \text{ kg}$ . Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

Die Katzen erhalten 20 kg, die Hunde 120 kg Futter.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Erbe von 50.000 € wird aufgeteilt. Person A erhält so viel wie Person B und C zusammen. Person B und C teilen ihren Betrag gerecht auf. Wie viel erhält jede Person?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Anteile bestimmen
Die Gesamtmenge wird in zwei große Hälften geteilt: eine für A, eine für B und C zusammen. Das bedeutet:
- Person A bekommt die Hälfte des Geldes.
- Person B und C bekommen zusammen die andere Hälfte.
Schritt 2 & 3
Wert der großen Teile berechnen
Wir teilen das Erbe durch 2.

$50.000 € : 2 = 25.000 €$

Person A erhält also 25.000 €.
Schritt 4
Rest aufteilen
Die restlichen 25.000 € werden gerecht zwischen B und C aufgeteilt.

$25.000 € : 2 = 12.500 €$

Person B und Person C erhalten jeweils 12.500 €.
Schritt 5 · Ergebnis
Probe
$25.000 € (A) + 12.500 € (B) + 12.500 € (C) = 50.000 €$ . Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

Person A erhält 25.000 €, Person B und C erhalten je 12.500 €.

Beispiel 4

Aufgabe

Zwei Bauern ernten zusammen 800 kg Kartoffeln. Bauer Schmidt erntet 200 kg mehr als Bauer Meier. Wie viele kg erntet jeder?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Den Überschuss abziehen
Bauer Schmidt hat 200 kg „Vorsprung". Wenn wir diese 200 kg kurz wegnehmen, haben beide gleich viel geerntet.

$800 \text{ kg} - 200 \text{ kg} = 600 \text{ kg}$
Schritt 2
Den Rest gerecht aufteilen
Diese 600 kg teilen wir gerecht durch zwei.

$600 \text{ kg} : 2 = 300 \text{ kg}$

Das ist der Anteil von Bauer Meier.
Schritt 3
Den Überschuss wieder hinzufügen
Bauer Schmidt bekommt diesen Anteil plus seinen Vorsprung.

$300 \text{ kg} + 200 \text{ kg} = 500 \text{ kg}$
4
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis und Probe
- Bauer Meier: 300 kg
- Bauer Schmidt: 500 kg
Probe: $300 \text{ kg} + 500 \text{ kg} = 800 \text{ kg}$ . Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

Bauer Meier erntet 300 kg, Bauer Schmidt 500 kg.

Beispiel 5

Aufgabe

Auf einem Parkplatz stehen 120 Fahrzeuge. Es gibt dreimal so viele Autos wie Motorräder. Wie viele Autos und wie viele Motorräder sind es?

Fortschritt

5 / 5

1
Schritt 1
Anteile bestimmen
- Motorräder sind die kleinere Gruppe, also 1 Anteil.
- Autos gibt es dreimal so viele, also 3 Anteile.
Schritt 2
Gesamtanzahl der Anteile berechnen
$1 + 3 = 4 \text{ Anteile}$
Schritt 3
Wert eines Anteils berechnen
$120 \text{ Fahrzeuge} : 4 = 30 \text{ Fahrzeuge}$

Ein Anteil entspricht 30 Fahrzeugen.
4
Schritt 4
Endgültige Mengen berechnen
- Motorräder (1 Anteil): $1 \cdot 30 = 30$
- Autos (3 Anteile): $3 \cdot 30 = 90$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe
$30 + 90 = 120$ . Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

Es gibt 30 Motorräder und 90 Autos.

Aufgabentyp 4: Mehrstufige Textaufgaben mit zwei Unbekannten lösen

Komplexe Textaufgaben sehen auf den ersten Blick oft unlösbar aus. Der Schlüssel ist, sie in kleine, einfache Schritte zu zerlegen. Oft gibt es mehrere Unbekannte (z. B. den Preis für ein Kinder- und ein Erwachsenenticket), aber sie hängen voneinander ab (z. B. „ein Ticket kostet die Hälfte des anderen").

Die Strategie ist: Zuerst alle einfachen, festen Kosten abziehen. Dann drücken wir den Wert der einen Unbekannten durch die andere aus und rechnen alles in der „günstigeren Einheit". So wird aus einem komplizierten Problem eine einfache Divisionsaufgabe.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Verstehen und sortieren: Lies die Aufgabe sehr genau. Schreibe alle gegebenen Zahlen und Bedingungen heraus. Was ist der Gesamtpreis? Was sind die festen Kosten? Wie hängen die unbekannten Preise zusammen?
Problem vereinfachen: Ziehe alle festen Kosten (wie Leihgebühren, Versandkosten etc.) vom Gesamtpreis ab. So erhältst du den reinen Preis für die gesuchten Dinge.
Beziehung herstellen: Finde den Satz, der die beiden Unbekannten verbindet (z. B. „Ein Expertenpass kostet doppelt so viel wie ein Anfängerpass").
Alles in eine Einheit umrechnen: Rechne aus, wie viele „günstigere Einheiten" insgesamt gekauft wurden. Wenn 3 Expertenpässe (je 2 Anfängerpässe wert) und 2 Anfängerpässe gekauft wurden, sind das $3 \cdot 2 + 2 = 8$ „Anfängerpass-Einheiten".
Preis der ersten Unbekannten berechnen: Teile den vereinfachten Preis (aus Schritt 2) durch die Gesamtzahl der Einheiten (aus Schritt 4). Das Ergebnis ist der Preis der günstigeren Einheit.
Preis der zweiten Unbekannten berechnen: Nutze die Beziehung aus Schritt 3, um den Preis der teureren Einheit zu berechnen (z. B. durch Multiplikation).
Probe machen: Setze deine gefundenen Preise in die ursprüngliche Aufgabe ein und rechne alles zusammen. Kommt der ursprüngliche Gesamtpreis heraus? Wenn ja, ist deine Lösung richtig.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Im Kino kauft eine Familie 2 Erwachsenenkarten und 3 Kinderkarten. Eine Erwachsenenkarte ist doppelt so teuer wie eine Kinderkarte. Zusätzlich kaufen sie Popcorn für 10 €. Insgesamt zahlen sie 52 €. Was kostet eine Kinderkarte und was eine Erwachsenenkarte?

Fortschritt

7 / 7

1
Schritt 1
Verstehen und sortieren
- Gesamtpreis: 52 €
- Feste Kosten: 10 € für Popcorn
- 2 Erwachsenenkarten, 3 Kinderkarten
- Beziehung: Erwachsenenkarte = 2 · Kinderkarte
Schritt 2
Problem vereinfachen
Wir ziehen die Popcorn-Kosten ab.

$52 € - 10 € = 42 €$ (reiner Preis für die Karten)
Schritt 3
Beziehung herstellen
Eine Erwachsenenkarte kostet so viel wie 2 Kinderkarten.
4
Schritt 4
Alles in eine Einheit umrechnen
Wir rechnen alles in „Kinderkarten" um.
- 2 Erwachsenenkarten = $2 \cdot 2 = 4$ Kinderkarten
- 3 Kinderkarten = 3 Kinderkarten
- Insgesamt: $4 + 3 = 7$ „Kinderkarten-Einheiten"
Schritt 5
Preis der ersten Unbekannten berechnen
Wir teilen den Kartenpreis durch die Anzahl der Einheiten.

$42 € : 7 = 6 €$

Eine Kinderkarte kostet 6 €.
Schritt 6
Preis der zweiten Unbekannten berechnen
Eine Erwachsenenkarte kostet doppelt so viel.

$6 € \cdot 2 = 12 €$
Schritt 7 · Ergebnis
Probe machen
$(2 \cdot 12 €) + (3 \cdot 6 €) + 10 € = 24 € + 18 € + 10 € = 52 €$ . Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

Eine Kinderkarte kostet 6 €, eine Erwachsenenkarte 12 €.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Bauer hat Hühner und Schafe. Zusammen haben die Tiere 30 Köpfe und 80 Beine. Wie viele Hühner und wie viele Schafe hat der Bauer? (Hühner haben 2 Beine, Schafe haben 4 Beine)

Fortschritt

6 / 6

Schritt 1
Annahme treffen
Wir nehmen an, alle 30 Tiere wären Hühner. Dann berechnen wir die Anzahl der Beine.

$30 \text{ Tiere} \cdot 2 \text{ Beine/Huhn} = 60 \text{ Beine}$
Schritt 2
Unterschied berechnen
Wir haben 60 Beine berechnet, aber es sind in Wirklichkeit 80. Der Unterschied ist:

$80 - 60 = 20 \text{ Beine}$

Uns fehlen 20 Beine.
Schritt 3
Unterschied pro Tier analysieren
Jedes Mal, wenn wir ein Huhn gedanklich durch ein Schaf ersetzen, kommen 2 Beine hinzu (denn ein Schaf hat 4 Beine statt 2).
Schritt 4
Anzahl der Schafe berechnen
Wir müssen die fehlenden 20 Beine durch den Unterschied pro Tier (2) teilen, um herauszufinden, wie viele Schafe es gibt.

$20 : 2 = 10 \text{ Schafe}$
Schritt 5
Anzahl der Hühner berechnen
Es gibt insgesamt 30 Tiere.

$30 - 10 \text{ Schafe} = 20 \text{ Hühner}$
6
Schritt 6 · Ergebnis
Probe machen
- Köpfe: $10 + 20 = 30$ . Stimmt.
- Beine: $(10 \cdot 4) + (20 \cdot 2) = 40 + 40 = 80$ . Stimmt.

Ergebnis:

Der Bauer hat 20 Hühner und 10 Schafe.

Beispiel 3

Aufgabe

In einem Laden werden große und kleine Saftflaschen verkauft. Eine große Flasche kostet 1,50 € mehr als eine kleine. Jemand kauft 5 große und 4 kleine Flaschen und zahlt insgesamt 25,50 €. Was kostet eine kleine und was eine große Flasche?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Preisunterschied entfernen
Die 5 großen Flaschen haben einen „Preisvorsprung" von je 1,50 €.

$5 \cdot 1,50 € = 7,50 €$

Wir ziehen diesen Vorsprung vom Gesamtpreis ab.

$25,50 € - 7,50 € = 18,00 €$
Schritt 2
Preis für gleiche Einheiten berechnen
Jetzt kosten alle Flaschen gedanklich so viel wie eine kleine Flasche. Wir haben insgesamt $5 + 4 = 9$ Flaschen.

$18,00 € : 9 = 2,00 €$

Eine kleine Flasche kostet 2,00 €.
Schritt 3
Preis der großen Flasche berechnen
$2,00 € + 1,50 € = 3,50 €$
Schritt 4 · Ergebnis
Probe
$(5 \cdot 3,50 €) + (4 \cdot 2,00 €) = 17,50 € + 8,00 € = 25,50 €$ . Stimmt.

Ergebnis:

Eine kleine Flasche kostet 2,00 €, eine große Flasche 3,50 €.

Beispiel 4

Aufgabe

Zwei Zahlen ergeben zusammen 100. Die eine Zahl ist um 20 größer als die andere. Finde die beiden Zahlen.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Den Unterschied abziehen
Wir nehmen den „Vorsprung" der größeren Zahl weg, damit beide Zahlen gleich groß sind.

$100 - 20 = 80$
Schritt 2
Den Rest halbieren
Diese 80 teilen wir gerecht auf die beiden Zahlen auf.

$80 : 2 = 40$

Das ist die kleinere der beiden Zahlen.
Schritt 3
Den Unterschied wieder hinzufügen
Die größere Zahl ist um 20 größer.

$40 + 20 = 60$
Schritt 4 · Ergebnis
Probe
Die beiden Zahlen sind 40 und 60. Ihre Summe: $40 + 60 = 100$ . Stimmt. Ihr Unterschied: $60 - 40 = 20$ . Stimmt auch.

Ergebnis:

Die beiden Zahlen sind 40 und 60.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Rechteck hat einen Umfang von 60 cm. Die längere Seite ist doppelt so lang wie die kürzere Seite. Wie lang sind die Seiten?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Umfang und Seiten verstehen
Der Umfang eines Rechtecks ist $2 \cdot (\text{Länge} + \text{Breite})$ . Wenn der Umfang 60 cm ist, dann sind eine Länge und eine Breite zusammen die Hälfte wert.

$60 \text{ cm} : 2 = 30 \text{ cm}$

Also: $\text{Länge} + \text{Breite} = 30 \text{ cm}$ .
2
Schritt 2
Anteile bestimmen
Die Aufgabe ist jetzt einfacher: Zwei Zahlen ergeben zusammen 30. Eine ist doppelt so groß wie die andere.
- Kürzere Seite (Breite): 1 Anteil
- Längere Seite (Länge): 2 Anteile
Schritt 3
Gesamtanteile und Wert eines Anteils berechnen
Gesamtanteile: $1 + 2 = 3$ Anteile.

$30 \text{ cm} : 3 = 10 \text{ cm}$

Ein Anteil ist 10 cm lang.
4
Schritt 4
Seitenlängen berechnen
- Kürzere Seite (1 Anteil): $1 \cdot 10 \text{ cm} = 10 \text{ cm}$
- Längere Seite (2 Anteile): $2 \cdot 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$
Schritt 5 · Ergebnis
Probe
Umfang = $2 \cdot (20 \text{ cm} + 10 \text{ cm}) = 2 \cdot 30 \text{ cm} = 60 \text{ cm}$ . Das Ergebnis stimmt.

Ergebnis:

Die kürzere Seite ist 10 cm, die längere Seite ist 20 cm lang.

Wichtige Erkenntnisse

Einfache Gleichungen: Löse sie mit der Umkehroperation. Plus wird zu Minus, Mal wird zu Geteilt und umgekehrt.
Faire Aufteilung: Wenn etwas „gleichmäßig verteilt" oder „pro Stück" berechnet wird, musst du immer teilen: Gesamtmenge : Anzahl.
Ungleiche Aufteilung: Benutze den Trick mit den Anteilen. Finde heraus, wie viele Anteile es insgesamt gibt, und berechne dann den Wert eines Anteils.
Komplexe Textaufgaben: Zerlege das Problem in kleine Schritte. Ziehe zuerst feste Kosten ab und versuche dann, alles in einer „Einheit" auszudrücken. Mache am Ende immer die Probe!

Gleichungen lösen und Textaufgaben einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Einfache Gleichungen mit einer Unbekannten lösen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Preis pro Einheit aus Sachzusammenhängen berechnen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Textaufgaben mit ungleicher Verteilung lösen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 4: Mehrstufige Textaufgaben mit zwei Unbekannten lösen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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