Was ist die Division mit ganzen Zahlen?

Die Division mit ganzen Zahlen funktioniert genauso wie die normale Division – mit dem Unterschied, dass du zusätzlich das Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen musst. Ganze Zahlen umfassen alle positiven und negativen Zahlen sowie die Null. Die Division fragt: Wie oft passt eine Zahl in eine andere? Bei negativen Zahlen gelten dabei klare Vorzeichenregeln, die festlegen, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist.

Wie bestimmst du das Vorzeichen beim Teilen ganzer Zahlen?

Das Vorzeichen beim Teilen ganzer Zahlen bestimmst du nach dieser Regel: Gleiche Vorzeichen (beide positiv oder beide negativ) ergeben immer ein positives Ergebnis. Verschiedene Vorzeichen (eines positiv, eines negativ) ergeben immer ein negatives Ergebnis. Beispiel: $(-10) : (-2) = +5$ und $(+10) : (-2) = -5$. Diese Regel gilt immer – egal wie groß die Zahlen sind.

Warum darf man nicht durch Null teilen?

Durch Null zu teilen ist in der Mathematik nicht definiert und daher verboten. Der Grund: Es gibt keine Zahl, die man mit 0 multiplizieren könnte und dabei eine von Null verschiedene Zahl erhält. Die Aufgabe $12 : 0$ hat schlicht keine Lösung. Umgekehrt gilt: Null geteilt durch eine beliebige Zahl (außer Null) ergibt immer $0$, zum Beispiel $0 : (-5) = 0$.

Wie löst du eine Gleichung, bei der die erste Zahl fehlt?

Wenn die erste Zahl (der Dividend) in einer Gleichung gesucht ist, nutzt du die Umkehraufgabe der Division: die Multiplikation . Aus $\square : a = b$ wird $\square = b \cdot a$. Beispiel: $\square : (-6) = 8$ ergibt $\square = 8 \cdot (-6) = -48$. Vergiss dabei nicht, die Vorzeichenregeln für die Multiplikation anzuwenden.

Wie funktioniert die schriftliche Division mit negativen Zahlen?

Die schriftliche Division mit negativen Zahlen kombiniert das bekannte Verfahren aus der Grundschule mit den Vorzeichenregeln. Du gehst in drei Schritten vor: Zuerst bestimmst du das Vorzeichen des Ergebnisses (gleiche Vorzeichen → Plus, verschiedene → Minus). Dann rechnest du die Division mit den Beträgen (also ohne Vorzeichen) schriftlich durch. Zuletzt setzt du das notierte Vorzeichen vor das Ergebnis.

Ganze Zahlen teilen: Berechnung erklärt

Das Teilen ganzer Zahlen ist ein zentrales Thema in der Mathematik, das dir nicht nur in Klausuren begegnet, sondern auch im Alltag – etwa wenn Schulden fair aufgeteilt werden sollen. Stell dir vor, du und deine Freunde bestellen zusammen eine riesige Pizza und die Rechnung von 30 € soll fair geteilt werden. Das ist einfach. Aber was, wenn ihr gemeinsam Schulden bei jemandem habt? Wie teilt man Schulden (also negative Zahlen) fair auf? Genau hier kommt die Division mit ganzen Zahlen ins Spiel! Sie ist wie ein Regelbuch für Fairness, egal ob es um Guthaben oder Schulden geht. Wenn du diese Regeln kennst, kannst du nicht nur Matheaufgaben lösen, sondern auch im echten Leben den Überblick behalten, wenn es um Geld, Punkte im Spiel oder sogar um Temperaturänderungen geht. Lass uns diesen Code knacken!

Vorwissen

Bevor wir mit dem Teilen ganzer Zahlen starten, solltest du diese Grundlagen kennen:

Ganze Zahlen: Das sind alle positiven Zahlen, negativen Zahlen und die Null.
- Beispiel: $-10, -2, 0, 5, 100$ sind alles ganze Zahlen.
Grundlagen der Division: Du weißt, wie man einfache Zahlen teilt.
- Beispiel: $20 : 4 = 5$ , weil $5 \cdot 4 = 20$ .
Multiplikation mit Vorzeichen: Du kennst die Vorzeichenregeln beim Malrechnen.
- Beispiel: $(+3) \cdot (-4) = -12$ (Plus mal Minus ergibt Minus).

Aufgabentyp 1: Vorzeichenregeln und die Null bei der Division

Beim Teilen von ganzen Zahlen gibt es klare Regeln für die Vorzeichen. Du kannst sie dir wie Beziehungsregeln vorstellen: „Gleich und gleich gesellt sich gern" ist positiv, „ungleich" ist negativ.

Die Vorzeichenregeln:

Positiv durch Positiv ergibt Positiv.
- $(+) : (+) = (+)$
- Beispiel: $(+10) : (+2) = +5$
Negativ durch Negativ ergibt Positiv.
- $(-) : (-) = (+)$
- Beispiel: $(-10) : (-2) = +5$
Positiv durch Negativ ergibt Negativ.
- $(+) : (-) = (-)$
- Beispiel: $(+10) : (-2) = -5$
Negativ durch Positiv ergibt Negativ.
- $(-) : (+) = (-)$
- Beispiel: $(-10) : (+2) = -5$

Sonderregeln für die Null:

Teilen durch Null ist verboten! Eine Aufgabe wie $12 : 0$ hat keine Lösung. Das ist die wichtigste Regel in der Mathematik.
Null geteilt durch eine andere Zahl ist immer Null.
- Beispiel: $0 : (-5) = 0$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Prüfe auf die Null: Schau dir die zweite Zahl (den Teiler) an. Wenn hier eine Null steht, ist die Aufgabe nicht lösbar. Wenn die erste Zahl eine Null ist, ist das Ergebnis 0.
Bestimme das Vorzeichen des Ergebnisses: Vergleiche die Vorzeichen der beiden Zahlen. Sind sie gleich (beide + oder beide -)? Das Ergebnis ist positiv. Sind sie verschieden (eins +, eins -)? Das Ergebnis ist negativ.
Teile die Zahlen ohne Vorzeichen: Rechne die Aufgabe so, als ob es keine Vorzeichen gäbe.
Setze das Ergebnis zusammen: Setze das in Schritt 2 bestimmte Vorzeichen vor das Ergebnis aus Schritt 3.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne: $(+56) : (+8)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Auf die Null prüfen
Keine der Zahlen ist Null. Wir können normal rechnen.
Schritt 2
Vorzeichen bestimmen
Beide Zahlen haben das gleiche Vorzeichen (Plus und Plus). Das Ergebnis ist also positiv.
Schritt 3
Zahlen ohne Vorzeichen teilen
$56 : 8 = 7$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist positiv, das Ergebnis ist 7. Also ist die Lösung $+7$ oder einfach $7$ .

Ergebnis:

$(+56) : (+8) = 7$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne: $(-45) : (-9)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Auf die Null prüfen
Keine der Zahlen ist Null.
Schritt 2
Vorzeichen bestimmen
Beide Zahlen haben das gleiche Vorzeichen (Minus und Minus). Das Ergebnis ist also positiv.
Schritt 3
Zahlen ohne Vorzeichen teilen
$45 : 9 = 5$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist positiv, das Ergebnis ist 5. Die Lösung ist $+5$ oder $5$ .

Ergebnis:

$(-45) : (-9) = 5$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne: $(+72) : (-8)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Auf die Null prüfen
Keine der Zahlen ist Null.
Schritt 2
Vorzeichen bestimmen
Die Zahlen haben verschiedene Vorzeichen (Plus und Minus). Das Ergebnis ist also negativ.
Schritt 3
Zahlen ohne Vorzeichen teilen
$72 : 8 = 9$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist negativ, das Ergebnis ist 9. Die Lösung ist $-9$ .

Ergebnis:

$(+72) : (-8) = -9$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne: $(-100) : (+10)$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Auf die Null prüfen
Keine der Zahlen ist Null.
Schritt 2
Vorzeichen bestimmen
Die Zahlen haben verschiedene Vorzeichen (Minus und Plus). Das Ergebnis ist also negativ.
Schritt 3
Zahlen ohne Vorzeichen teilen
$100 : 10 = 10$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis zusammensetzen
Das Vorzeichen ist negativ, das Ergebnis ist 10. Die Lösung ist $-10$ .

Ergebnis:

$(-100) : (+10) = -10$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne: $0 : (-23)$ und $(+4) : 0$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Auf die Null prüfen – Lösung für $0 : (-23)$
Die erste Zahl ist Null. Nach der Sonderregel ist das Ergebnis sofort $0$ .

$0 : (-23) = 0$
Schritt 2 · Ergebnis
Auf die Null prüfen – Lösung für $(+4) : 0$
Die zweite Zahl (der Teiler) ist Null. Nach der Sonderregel ist das Teilen durch Null verboten.

Die Aufgabe ist nicht lösbar (oder „nicht definiert").

Ergebnis:

$0 : (-23) = 0$ und $(+4) : 0$ ist nicht definiert.

Aufgabentyp 2: Schriftliche Division mit ganzen Zahlen

Wenn die Zahlen größer werden, brauchst du die schriftliche Division – das Standardverfahren aus der Grundschule kombiniert mit den Vorzeichenregeln für ganze Zahlen. Das Gute ist: Du kennst das Verfahren schon! Das Einzige, was neu hinzukommt, ist, dass du zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses bestimmst und es dann für die Rechnung kurz „parkst". Du kombinierst also einfach die Vorzeichenregeln mit der schriftlichen Division, die du bereits aus der Grundschule kennst.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Bestimme das Vorzeichen des Ergebnisses: Nutze die bekannten Regeln: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene Vorzeichen ergeben Minus. Notiere dir das Vorzeichen.
Führe die schriftliche Division ohne Vorzeichen durch: Nimm die Zahlen so, als wären sie beide positiv (man nennt das ihre „Beträge") und führe die schriftliche Division durch, wie du es gewohnt bist.
Versehe das Ergebnis mit dem Vorzeichen: Setze das in Schritt 1 bestimmte Vorzeichen vor das Ergebnis deiner schriftlichen Rechnung. Fertig!

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne den Wert des Quotienten: $(-1476) : (-12)$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir teilen Negativ durch Negativ. Die Vorzeichen sind gleich, also ist das Ergebnis positiv (+).
Schritt 2
Schriftliche Division ohne Vorzeichen durchführen
Wir rechnen $1476 : 12$ .

$\begin{array}{l} 1476 : 12 = 123 \\ \underline{-12} \\ \phantom{-}27 \\ \underline{-24} \\ \phantom{-2}36 \\ \phantom{2}\underline{-36} \\ \phantom{-23}0 \end{array}$

Das Ergebnis der schriftlichen Division ist $123$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis mit Vorzeichen versehen
Das Vorzeichen ist positiv. Die Lösung ist also $+123$ oder einfach $123$ .

Ergebnis:

$(-1476) : (-12) = 123$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne den Wert des Quotienten: $(+4425) : (-25)$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir teilen Positiv durch Negativ. Die Vorzeichen sind verschieden, also ist das Ergebnis negativ (-).
Schritt 2
Schriftliche Division ohne Vorzeichen durchführen
Wir rechnen $4425 : 25$ .

$\begin{array}{l} 4425 : 25 = 177 \\ \underline{-25} \\ \phantom{-}192 \\ \underline{-175} \\ \phantom{-1}175 \\ \phantom{1}\underline{-175} \\ \phantom{-117}0 \end{array}$

Das Ergebnis der schriftlichen Division ist $177$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis mit Vorzeichen versehen
Das Vorzeichen ist negativ. Die Lösung ist also $-177$ .

Ergebnis:

$(+4425) : (-25) = -177$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne den Wert des Quotienten: $(-8190) : (+35)$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir teilen Negativ durch Positiv. Die Vorzeichen sind verschieden, also ist das Ergebnis negativ (-).
Schritt 2
Schriftliche Division ohne Vorzeichen durchführen
Wir rechnen $8190 : 35$ .

$\begin{array}{l} 8190 : 35 = 234 \\ \underline{-70} \\ \phantom{-}119 \\ \underline{-105} \\ \phantom{-1}140 \\ \phantom{1}\underline{-140} \\ \phantom{-114}0 \end{array}$

Das Ergebnis der schriftlichen Division ist $234$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis mit Vorzeichen versehen
Das Vorzeichen ist negativ. Die Lösung ist also $-234$ .

Ergebnis:

$(-8190) : (+35) = -234$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne den Wert des Quotienten: $(+3888) : (+18)$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir teilen Positiv durch Positiv. Die Vorzeichen sind gleich, also ist das Ergebnis positiv (+).
Schritt 2
Schriftliche Division ohne Vorzeichen durchführen
Wir rechnen $3888 : 18$ .

$\begin{array}{l} 3888 : 18 = 216 \\ \underline{-36} \\ \phantom{-}28 \\ \phantom{2}\underline{-18} \\ \phantom{-2}108 \\ \phantom{2}\underline{-108} \\ \phantom{-210}0 \end{array}$

Das Ergebnis der schriftlichen Division ist $216$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis mit Vorzeichen versehen
Das Vorzeichen ist positiv. Die Lösung ist also $216$ .

Ergebnis:

$(+3888) : (+18) = 216$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne den Wert des Quotienten: $(-13120) : (-41)$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Vorzeichen des Ergebnisses bestimmen
Wir teilen Negativ durch Negativ. Die Vorzeichen sind gleich, also ist das Ergebnis positiv (+).
Schritt 2
Schriftliche Division ohne Vorzeichen durchführen
Wir rechnen $13120 : 41$ .

$\begin{array}{l} 13120 : 41 = 320 \\ \underline{-123} \\ \phantom{-12}82 \\ \phantom{12}\underline{-82} \\ \phantom{-128}00 \\ \phantom{128}\underline{-0} \\ \phantom{-1280}0 \end{array}$

Das Ergebnis der schriftlichen Division ist $320$ .
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis mit Vorzeichen versehen
Das Vorzeichen ist positiv. Die Lösung ist also $320$ .

Ergebnis:

$(-13120) : (-41) = 320$

Aufgabentyp 3: Gleichungen mit Division lösen

Manchmal fehlt in einer Divisionsaufgabe eine Zahl. Um diese Lücke zu füllen, benutzt du die Umkehraufgabe. Das ist die Rechenoperation, die eine andere rückgängig macht. Die Umkehrung der Division ist die Multiplikation.

Es gibt zwei Fälle:

Fall 1: Die erste Zahl (Dividend) ist gesucht.

Aufgabe: $\square : a = b$
Umkehrung: Um die fehlende Zahl zu finden, rechnest du $b \cdot a$ .
Beispiel: $\square : 3 = 4 \ \to \ \square = 4 \cdot 3 = 12$

Fall 2: Die zweite Zahl (Divisor) ist gesucht.

Aufgabe: $a : x = b$
Umkehrung: Um die fehlende Zahl zu finden, rechnest du $a : b$ .
Beispiel: $20 : x = 5 \ \to \ x = 20 : 5 = 4$

Die Vorzeichenregeln gelten natürlich auch hier!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die Position der Unbekannten: Schau, welche Zahl fehlt: die erste Zahl (der Dividend) oder die zweite Zahl (der Divisor)?
Stelle die passende Umkehraufgabe auf: Wenn die erste Zahl gesucht ist, multipliziere das Ergebnis mit der zweiten Zahl ( $\square : a = b \ \to \ \square = b \cdot a$ ). Wenn die zweite Zahl gesucht ist, dividiere die erste Zahl durch das Ergebnis ( $a : x = b \ \to \ x = a : b$ ).
Rechne das Ergebnis aus: Löse die Umkehraufgabe und achte dabei auf die Vorzeichenregeln für Multiplikation oder Division.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ermittle den Wert für den Platzhalter: $\square : (-6) = 8$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Unbekannte Position identifizieren
Die erste Zahl (der Dividend) ist gesucht.
Schritt 2
Passende Umkehraufgabe aufstellen
Wir müssen das Ergebnis ( $8$ ) mit der zweiten Zahl ( $-6$ ) multiplizieren.

$\square = 8 \cdot (-6)$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis ausrechnen
Wir rechnen Positiv mal Negativ, das Ergebnis ist negativ.

$8 \cdot 6 = 48$

Also ist $\square = -48$ .

Ergebnis:

$\square = -48$

Beispiel 2

Aufgabe

Ermittle den Wert für die Variable: $(-121) : x = 11$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Unbekannte Position identifizieren
Die zweite Zahl (der Divisor) ist gesucht.
Schritt 2
Passende Umkehraufgabe aufstellen
Wir müssen die erste Zahl ( $-121$ ) durch das Ergebnis ( $11$ ) dividieren.

$x = (-121) : 11$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis ausrechnen
Wir rechnen Negativ durch Positiv, das Ergebnis ist negativ.

$121 : 11 = 11$

Also ist $x = -11$ .

Ergebnis:

$x = -11$

Beispiel 3

Aufgabe

Ermittle den Wert für die Variable: $y : 15 = -5$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Unbekannte Position identifizieren
Die erste Zahl (der Dividend) ist gesucht.
Schritt 2
Passende Umkehraufgabe aufstellen
Wir müssen das Ergebnis ( $-5$ ) mit der zweiten Zahl ( $15$ ) multiplizieren.

$y = (-5) \cdot 15$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis ausrechnen
Wir rechnen Negativ mal Positiv, das Ergebnis ist negativ.

$5 \cdot 15 = 75$

Also ist $y = -75$ .

Ergebnis:

$y = -75$

Beispiel 4

Aufgabe

Ermittle den Wert für den Platzhalter: $99 : \square = -9$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Unbekannte Position identifizieren
Die zweite Zahl (der Divisor) ist gesucht.
Schritt 2
Passende Umkehraufgabe aufstellen
Wir müssen die erste Zahl ( $99$ ) durch das Ergebnis ( $-9$ ) dividieren.

$\square = 99 : (-9)$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis ausrechnen
Wir rechnen Positiv durch Negativ, das Ergebnis ist negativ.

$99 : 9 = 11$

Also ist $\square = -11$ .

Ergebnis:

$\square = -11$

Beispiel 5

Aufgabe

Ermittle den Wert für die Variable: $z : (-20) = 0$

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Unbekannte Position identifizieren
Die erste Zahl (der Dividend) ist gesucht.
Schritt 2
Passende Umkehraufgabe aufstellen
Wir müssen das Ergebnis ( $0$ ) mit der zweiten Zahl ( $-20$ ) multiplizieren.

$z = 0 \cdot (-20)$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis ausrechnen
Jede Zahl, die mit Null multipliziert wird, ergibt Null.

$z = 0$

Ergebnis:

$z = 0$

Wichtige Erkenntnisse

Vorzeichenregeln: Gleiche Vorzeichen $(+,+)$ oder $(-,-)$ ergeben beim Teilen immer Plus. Verschiedene Vorzeichen $(+,-)$ oder $(-,+)$ ergeben immer Minus.
Die Null-Regeln: Durch Null darfst du niemals teilen. Aber $0$ geteilt durch eine andere Zahl ist immer $0$ .
Gleichungen lösen: Um eine fehlende Zahl zu finden, nutze die Umkehraufgabe.
- Erste Zahl fehlt? $\square : 5 = 10 \ \to \ \square = 10 \cdot 5$
- Zweite Zahl fehlt? $20 : x = 4 \ \to \ x = 20 : 4$

Ganze Zahlen teilen: Berechnung und Lösung einfach erklärt

Ganze Zahlen teilen: Berechnung und Lösung einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Vorzeichenregeln und die Null bei der Division

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Schriftliche Division mit ganzen Zahlen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Gleichungen mit Division lösen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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