Was sind fehlende Maße im Trapez und wie berechnet man sie?

Beim Trapez fehlen häufig eine Seitenlänge, die Höhe oder der Flächeninhalt. Du findest sie, indem du die passende Formel aufschreibst – entweder die Flächenformel A = (a + c) / 2 · h oder die Umfangsformel U = a + b + c + d – und sie nach der gesuchten Größe umstellst. Entscheidend ist, vorher alle Längen in dieselbe Einheit umzurechnen. Danach setzt du die bekannten Werte ein und löst die Gleichung Schritt für Schritt auf.

Wie stellst du die Trapezformel nach einer unbekannten Seite um?

Schreibe zuerst die Formel auf und setze alle bekannten Werte ein. Dann führe die nötigen Umkehroperationen durch: Teilen statt Multiplizieren, Subtrahieren statt Addieren. Beispiel: Aus A = (a + c) / 2 · h wird die Höhe durch h = 2A / (a + c) isoliert. Gehe Schritt für Schritt vor und behalte die Einheit im Blick.

Wie gehst du bei Sachaufgaben mit dem Trapez vor?

Lies die Aufgabe sorgfältig und fertige eine Skizze an. Identifiziere dann die beiden parallelen Seiten – das sind a und c – sowie den senkrechten Abstand zwischen ihnen als Höhe h . Sind alle drei Werte gefunden, setzt du sie in die Flächenformel A = (a + c) / 2 · h ein und formulierst am Ende einen vollständigen Antwortsatz mit der richtigen Einheit.

Wann musst du Einheiten umrechnen, bevor du mit dem Trapez rechnest?

Immer dann, wenn die Angaben verschiedene Einheiten haben – zum Beispiel Meter und Zentimeter oder dm² und cm² – musst du vor dem Rechnen alles in eine gemeinsame Einheit umwandeln. Längen: 1 m = 10 dm = 100 cm . Flächen: 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² . Überspringe diesen Schritt nie, sonst wird das Ergebnis definitiv falsch.

Wie berechnest du Trapez-Seiten, wenn nur eine Beziehung zwischen ihnen gegeben ist?

Übersetze die beschriebene Beziehung zuerst in eine Gleichung , z. B. c = 2a oder a = c + 5 . Setze diesen Ausdruck in die Flächenformel ein, sodass nur noch eine Unbekannte übrig bleibt. Löse die Gleichung nach dieser Unbekannten auf und berechne anschließend die zweite Seite, indem du den gefundenen Wert in die Beziehungsgleichung einsetzt.

Fehlende Maße im Trapez berechnen

Fehlende Maße im Trapez berechnen ist eine wichtige Fähigkeit, die du in der Schule immer wieder brauchst – und die auch im echten Leben vorkommt. Stell dir vor, du planst eine Skaterampe oder hilfst dabei, ein Dach zu bauen. Wenn Maße fehlen oder falsch berechnet werden, passt am Ende nichts zusammen. Genau hier kommt die Mathematik ins Spiel: Mit den Flächen- und Umfangsformeln des Trapezes kannst du jede fehlende Information aufdecken – wie ein Detektiv, der mit wenigen Hinweisen den Fall löst. Das ist keine trockene Theorie, sondern eine Fähigkeit, mit der du reale Probleme löst – vom Bauprojekt bis zum Videospiel-Design.

Vorwissen

Bevor wir die fehlenden Maße finden, frischen wir schnell ein paar Grundlagen auf:

Das Trapez: Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. Diese Seiten nennt man oft $a$ und $c$ . Die Höhe $h$ ist der senkrechte Abstand zwischen diesen beiden Seiten.

Trapez mit parallelen Seiten a und c sowie Höhe h

Flächeninhaltsformel: $A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
- Beispiel: Wenn $a=6\,\text{cm}$ , $c=4\,\text{cm}$ und $h=3\,\text{cm}$ , dann ist der Flächeninhalt $A = \frac{6+4}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15\,\text{cm}^2$ .
Umfangsformel: $U = a + b + c + d$
- Beispiel: Wenn $a=6\,\text{cm}$ , $b=4\,\text{cm}$ , $c=4\,\text{cm}$ und $d=5\,\text{cm}$ , dann ist der Umfang $U = 6+4+4+5 = 19\,\text{cm}$ .
Einheiten umrechnen (Längen): Längen müssen immer in der gleichen Einheit sein, bevor du rechnest.
- Regel: $1\,\text{m} = 10\,\text{dm} = 100\,\text{cm}$
- Beispiel: $0{,}5\,\text{m}$ sind $5\,\text{dm}$ oder $50\,\text{cm}$ .
Einheiten umrechnen (Flächen): Bei Flächen wird der Umrechnungsfaktor quadriert.
- Regel: $1\,\text{m}^2 = 100\,\text{dm}^2 = 10.000\,\text{cm}^2$
- Beispiel: $2\,\text{dm}^2$ sind $200\,\text{cm}^2$ .
Gleichungen umstellen: Um eine fehlende Größe zu finden, musst du die Formel nach ihr auflösen.
- Beispiel: Um $20 = 4 \cdot x$ nach $x$ aufzulösen, teilst du beide Seiten durch 4: $x = \frac{20}{4} = 5$ .

Aufgabentyp 1: Fehlende Maße durch Umstellen der Formeln berechnen

Oft sind nicht alle Maße eines Trapezes gegeben. Manchmal kennst du den Flächeninhalt und die Höhe, aber nicht eine der parallelen Seiten. Der Trick besteht darin, die bekannte Formel zu nehmen und sie nach der gesuchten Größe umzustellen.

Der wichtigste erste Schritt ist immer: Alle Längenangaben in die gleiche Einheit umrechnen! Wenn Längen in cm und dm gemischt sind, musst du dich für eine Einheit entscheiden und alles entsprechend umwandeln, bevor du die Werte in die Formel einsetzt. Sonst wird das Ergebnis falsch.

Beispiel: Die Höhe $h$ finden

Gegeben sind: $A = 20\,\text{cm}^2$ , $a = 6\,\text{cm}$ , $c = 4\,\text{cm}$ .

Formel aufschreiben: $A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
Werte einsetzen: $20 = \frac{6+4}{2} \cdot h$
Vereinfachen: $20 = \frac{10}{2} \cdot h$ → $20 = 5 \cdot h$
Nach $h$ umstellen: (Beide Seiten durch 5 teilen) $h = \frac{20}{5} = 4\,\text{cm}$

So kannst du jede fehlende Größe finden, egal ob es eine Seite, die Höhe, der Umfang oder der Flächeninhalt ist.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Identifiziere die gegebenen und gesuchten Größen: Schreibe auf, welche Werte du kennst (z. B. $a, c, h, U$ ) und welcher Wert gesucht wird (z. B. $d$ oder $A$ ).
Überprüfe und rechne die Einheiten aller gegebenen Längen um – wenn sie unterschiedlich sind, wandle alles in eine gemeinsame Einheit um (meistens die kleinste vorkommende).
Wähle die passende Formel: Flächenformel $A = \frac{a+c}{2} \cdot h$ oder Umfangsformel $U = a + b + c + d$ .
Setze alle bekannten Werte in die Formel ein.
Löse die Gleichung nach der gesuchten Größe auf und gib die Antwort mit der korrekten Einheit an.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Von einem Trapez sind bekannt: $a = 8\,\text{cm}$ , $b = 5\,\text{cm}$ , $c = 12\,\text{cm}$ und der Umfang $U = 30\,\text{cm}$ . Berechne die Länge der Seite $d$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gegebene und gesuchte Größen identifizieren
Gegeben: $a = 8\,\text{cm}$ , $b = 5\,\text{cm}$ , $c = 12\,\text{cm}$ , $U = 30\,\text{cm}$ .

Gesucht: $d$ .
Schritt 2
Einheiten überprüfen
Alle Angaben sind in cm. Es ist keine Umrechnung nötig.
Schritt 3
Passende Formel auswählen
Da es um die Seitenlängen und den Umfang geht, verwenden wir die Umfangsformel.

$U = a + b + c + d$
Schritt 4
Bekannte Werte einsetzen
$30 = 8 + 5 + 12 + d$
Schritt 5 · Ergebnis
Gleichung auflösen
Zuerst addieren wir die bekannten Seiten:

$30 = (8 + 5 + 12) + d$

$30 = 25 + d$

Jetzt ziehen wir 25 von beiden Seiten ab, um $d$ zu erhalten:

$d = 30 - 25$

$d = 5\,\text{cm}$

Ergebnis:

Die Seite $d$ ist $5\,\text{cm}$ lang.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Trapez hat einen Flächeninhalt von $A = 45\,\text{cm}^2$ und eine Höhe von $h = 0{,}5\,\text{dm}$ . Die Seite $c$ ist $7\,\text{cm}$ lang. Berechne die Länge der Seite $a$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gegebene und gesuchte Größen identifizieren
Gegeben: $A = 45\,\text{cm}^2$ , $h = 0{,}5\,\text{dm}$ , $c = 7\,\text{cm}$ .

Gesucht: $a$ .
Schritt 2
Einheiten überprüfen und umrechnen
Die Einheiten sind gemischt (cm, dm). Wir rechnen die Höhe in cm um.

$1\,\text{dm} = 10\,\text{cm}$

$h = 0{,}5\,\text{dm} = 0{,}5 \cdot 10\,\text{cm} = 5\,\text{cm}$
Schritt 3
Passende Formel auswählen
Da der Flächeninhalt gegeben ist, verwenden wir die Flächenformel.

$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
Schritt 4
Bekannte Werte einsetzen
$45 = \frac{a + 7}{2} \cdot 5$
Schritt 5 · Ergebnis
Gleichung auflösen
Um die Gleichung zu lösen, führen wir die Umkehroperationen durch. Zuerst teilen wir durch 5:

$\frac{45}{5} = \frac{a+7}{2}$

$9 = \frac{a+7}{2}$

Jetzt multiplizieren wir mit 2:

$9 \cdot 2 = a+7$

$18 = a+7$

Zuletzt subtrahieren wir 7:

$a = 18 - 7$

$a = 11\,\text{cm}$

Ergebnis:

Die Seite $a$ ist $11\,\text{cm}$ lang.

Beispiel 3

Aufgabe

Von einem Trapez sind die parallelen Seiten $a = 1{,}5\,\text{dm}$ und $c = 2{,}5\,\text{dm}$ sowie der Flächeninhalt $A = 600\,\text{cm}^2$ bekannt. Berechne die Höhe $h$ in cm.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gegebene und gesuchte Größen identifizieren
Gegeben: $a = 1{,}5\,\text{dm}$ , $c = 2{,}5\,\text{dm}$ , $A = 600\,\text{cm}^2$ .

Gesucht: $h$ in cm.
Schritt 2
Einheiten überprüfen und umrechnen
Die Einheiten sind gemischt. Wir rechnen alles in cm um.

$a = 1{,}5\,\text{dm} = 15\,\text{cm}$

$c = 2{,}5\,\text{dm} = 25\,\text{cm}$
Schritt 3
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Flächenformel.

$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
Schritt 4
Bekannte Werte einsetzen
$600 = \frac{15 + 25}{2} \cdot h$
Schritt 5 · Ergebnis
Gleichung auflösen
Zuerst berechnen wir den Bruch:

$600 = \frac{40}{2} \cdot h$

$600 = 20 \cdot h$

Jetzt teilen wir durch 20, um $h$ zu finden:

$h = \frac{600}{20}$

$h = 30\,\text{cm}$

Ergebnis:

Die Höhe $h$ beträgt $30\,\text{cm}$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Trapez hat die Seiten $a=10\,\text{m}$ , $b=6\,\text{m}$ , $d=7\,\text{m}$ und einen Umfang von $U=310\,\text{dm}$ . Berechne die Länge der Seite $c$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gegebene und gesuchte Größen identifizieren
Gegeben: $a=10\,\text{m}$ , $b=6\,\text{m}$ , $d=7\,\text{m}$ , $U=310\,\text{dm}$ .

Gesucht: $c$ .
Schritt 2
Einheiten überprüfen und umrechnen
Die Einheiten sind m und dm. Wir rechnen alles in Meter um.

$U = 310\,\text{dm} = 31\,\text{m}$
Schritt 3
Passende Formel auswählen
Wir benötigen die Umfangsformel.

$U = a + b + c + d$
Schritt 4
Bekannte Werte einsetzen
$31 = 10 + 6 + c + 7$
Schritt 5 · Ergebnis
Gleichung auflösen
Wir addieren die bekannten Seiten:

$31 = (10 + 6 + 7) + c$

$31 = 23 + c$

Wir subtrahieren 23:

$c = 31 - 23$

$c = 8\,\text{m}$

Ergebnis:

Die Seite $c$ ist $8\,\text{m}$ lang.

Beispiel 5

Aufgabe

Die parallelen Seiten eines Trapezes sind $a=9\,\text{cm}$ und $c=5\,\text{cm}$ lang. Die Höhe beträgt $h=0{,}4\,\text{dm}$ . Berechne den Flächeninhalt $A$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Gegebene und gesuchte Größen identifizieren
Gegeben: $a=9\,\text{cm}$ , $c=5\,\text{cm}$ , $h=0{,}4\,\text{dm}$ .

Gesucht: $A$ .
Schritt 2
Einheiten überprüfen und umrechnen
Wir rechnen die Höhe in cm um.

$h = 0{,}4\,\text{dm} = 4\,\text{cm}$
Schritt 3
Passende Formel auswählen
Wir verwenden die Flächenformel.

$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
Schritt 4
Bekannte Werte einsetzen
$A = \frac{9 + 5}{2} \cdot 4$
Schritt 5 · Ergebnis
Gleichung auflösen
In diesem Fall müssen wir nichts umstellen, nur ausrechnen.

$A = \frac{14}{2} \cdot 4$

$A = 7 \cdot 4$

$A = 28\,\text{cm}^2$

Ergebnis:

Der Flächeninhalt beträgt $28\,\text{cm}^2$ .

Aufgabentyp 2: Flächeninhalt im Sachzusammenhang berechnen

Trapeze verstecken sich überall in unserer Umwelt: in Dächern, an Böschungen, in Grundstücken oder sogar bei modischen Handtaschen. Bei Textaufgaben ist der erste und wichtigste Schritt, die Informationen aus dem Text den richtigen Variablen des Trapezes zuzuordnen.

Lies die Aufgabe sorgfältig und frage dich:

Welche beiden Kanten sind parallel zueinander? Das sind deine Seiten $a$ und $c$ .
Was ist der senkrechte Abstand zwischen diesen beiden parallelen Seiten? Das ist deine Höhe $h$ .

Sobald du diese drei Werte identifiziert hast, ist der Rest nur noch das Einsetzen in die bekannte Flächenformel. Eine kleine Skizze kann oft helfen, die Übersicht zu behalten.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Analysiere den Text und fertige eine Skizze an: Zeichne eine einfache Skizze eines Trapezes und trage die gegebenen Maße an den richtigen Stellen ein.
Ordne die Größen $a$ , $c$ und $h$ zu: Identifiziere die beiden parallelen Seiten und weise ihnen $a$ und $c$ zu; finde die Höhe $h$ als senkrechten Abstand zwischen $a$ und $c$ .
Schreibe die Flächenformel auf: $A = \frac{a+c}{2} \cdot h$ .
Setze die Werte ein und berechne: Berechne zuerst die Summe in der Klammer, teile dann durch 2 und multipliziere anschließend mit der Höhe.
Formuliere einen klaren Antwortsatz mit der richtigen Einheit (z. B. $\text{m}^2$ ).

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Ein Gärtner möchte ein trapezförmiges Blumenbeet anlegen. Die eine parallele Seite soll $6\,\text{m}$ lang sein, die andere $4\,\text{m}$ . Der Abstand zwischen diesen beiden Seiten beträgt $3\,\text{m}$ . Wie groß ist die Fläche des Beetes?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Text analysieren und Skizze anfertigen
Wir stellen uns ein Blumenbeet in Trapezform vor.

Trapezförmiges Blumenbeet mit Maßen 6 m und 4 m
2
Schritt 2
Die Größen $a$, $c$ und $h$ zuordnen
- Die parallelen Seiten sind $a = 6\,\text{m}$ und $c = 4\,\text{m}$ .
- Der Abstand zwischen ihnen ist die Höhe $h = 3\,\text{m}$ .
Schritt 3
Flächenformel aufschreiben
$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte einsetzen und berechnen
$A = \frac{6 + 4}{2} \cdot 3$

$A = \frac{10}{2} \cdot 3$

$A = 5 \cdot 3$

$A = 15\,\text{m}^2$

Ergebnis:

Die Fläche des Blumenbeetes beträgt $15\,\text{m}^2$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Der Querschnitt eines Entwässerungsgrabens ist ein Trapez. Die Grabensohle (unten) ist $1{,}20\,\text{m}$ breit, die obere Öffnung ist $2{,}80\,\text{m}$ breit. Der Graben ist $80\,\text{cm}$ tief. Berechne die Querschnittsfläche des Grabens in Quadratmetern.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Text analysieren und Einheiten umrechnen
Die Maße sind in Meter und Zentimeter gegeben. Wir rechnen die Tiefe (Höhe) in Meter um.

Tiefe $h = 80\,\text{cm} = 0{,}8\,\text{m}$ .
2
Schritt 2
Die Größen $a$, $c$ und $h$ zuordnen
- Die parallelen Seiten sind die Sohle und die Öffnung: $a = 2{,}80\,\text{m}$ und $c = 1{,}20\,\text{m}$ .
- Die Tiefe ist die Höhe: $h = 0{,}8\,\text{m}$ .
Schritt 3
Flächenformel aufschreiben
$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte einsetzen und berechnen
$A = \frac{2{,}80 + 1{,}20}{2} \cdot 0{,}8$

$A = \frac{4{,}00}{2} \cdot 0{,}8$

$A = 2 \cdot 0{,}8$

$A = 1{,}6\,\text{m}^2$

Ergebnis:

Die Querschnittsfläche des Grabens beträgt $1{,}6\,\text{m}^2$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Eine Glasplatte für einen Tisch hat die Form eines Trapezes. Die beiden parallelen Kanten sind $140\,\text{cm}$ und $90\,\text{cm}$ lang. Die Höhe der Platte misst $60\,\text{cm}$ . Welchen Flächeninhalt hat die Glasplatte?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Text analysieren
Alle Maße sind in cm, eine Umrechnung ist nicht nötig.
2
Schritt 2
Die Größen $a$, $c$ und $h$ zuordnen
- Parallele Kanten: $a = 140\,\text{cm}$ und $c = 90\,\text{cm}$ .
- Höhe: $h = 60\,\text{cm}$ .
Schritt 3
Flächenformel aufschreiben
$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte einsetzen und berechnen
$A = \frac{140 + 90}{2} \cdot 60$

$A = \frac{230}{2} \cdot 60$

$A = 115 \cdot 60$

$A = 6900\,\text{cm}^2$

Ergebnis:

Der Flächeninhalt der Glasplatte beträgt $6900\,\text{cm}^2$ (oder $0{,}69\,\text{m}^2$ ).

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Stück Land hat die Form eines Trapezes. Die beiden parallelen Grenzen sind $55\,\text{m}$ und $85\,\text{m}$ lang. Der senkrechte Abstand zwischen ihnen beträgt $40\,\text{m}$ . Berechne die Fläche des Grundstücks.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Text analysieren
Alle Maße sind in Meter, keine Umrechnung nötig.
2
Schritt 2
Die Größen $a$, $c$ und $h$ zuordnen
- Parallele Grenzen: $a = 85\,\text{m}$ und $c = 55\,\text{m}$ .
- Abstand (Höhe): $h = 40\,\text{m}$ .
Schritt 3
Flächenformel aufschreiben
$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte einsetzen und berechnen
$A = \frac{85 + 55}{2} \cdot 40$

$A = \frac{140}{2} \cdot 40$

$A = 70 \cdot 40$

$A = 2800\,\text{m}^2$

Ergebnis:

Die Fläche des Grundstücks beträgt $2800\,\text{m}^2$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Die Seitenwand eines Zeltes ist ein Trapez. Die untere Kante ist $2{,}5\,\text{m}$ lang, die obere Kante $1{,}5\,\text{m}$ . Die Wand ist $1{,}8\,\text{m}$ hoch. Wie viel Zeltstoff wurde für diese eine Seitenwand benötigt?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Text analysieren
Alle Maße sind in Meter, keine Umrechnung nötig.
2
Schritt 2
Die Größen $a$, $c$ und $h$ zuordnen
- Parallele Kanten: $a = 2{,}5\,\text{m}$ und $c = 1{,}5\,\text{m}$ .
- Höhe der Wand: $h = 1{,}8\,\text{m}$ .
Schritt 3
Flächenformel aufschreiben
$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
Schritt 4 · Ergebnis
Werte einsetzen und berechnen
$A = \frac{2{,}5 + 1{,}5}{2} \cdot 1{,}8$

$A = \frac{4{,}0}{2} \cdot 1{,}8$

$A = 2 \cdot 1{,}8$

$A = 3{,}6\,\text{m}^2$

Ergebnis:

Für die Seitenwand wurden $3{,}6\,\text{m}^2$ Zeltstoff benötigt.

Aufgabentyp 3: Seitenlängen aus dem Flächeninhalt und einer Beziehung berechnen

Manchmal kennst du die genauen Längen der parallelen Seiten $a$ und $c$ nicht. Stattdessen bekommst du einen Hinweis, wie sie zusammenhängen. Zum Beispiel: „Die Seite $c$ ist doppelt so lang wie die Seite $a$ ".

Dieser Hinweis ist der Schlüssel! Du kannst ihn in eine mathematische Gleichung übersetzen:

„ $c$ ist doppelt so lang wie $a$ " $\to$ $c = 2 \cdot a$
„ $a$ ist 5 cm kürzer als $c$ " $\to$ $a = c - 5$

Diese kleine Gleichung setzt du dann in die große Flächenformel ein. Dadurch ersetzt du eine Variable (z. B. $c$ ) durch einen Ausdruck mit der anderen Variable (z. B. $a$ ). Der Vorteil: Plötzlich hast du nur noch eine Unbekannte in deiner Formel und kannst sie wie gewohnt ausrechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Rechne die Einheiten um: Stelle sicher, dass alle gegebenen Maße (Flächeninhalt, Höhe) die gleichen Grundeinheiten haben.
Formuliere die Beziehung als Gleichung: Übersetze die Information über das Verhältnis der Seiten $a$ und $c$ (z. B. $c = 3a$ oder $a = c + 4$ ).
Stelle die Flächenformel auf und setze die Beziehung ein: Ersetze eine der Variablen durch den Ausdruck aus Schritt 2 und setze auch $A$ und $h$ ein.
Löse die Gleichung nach der verbliebenen Unbekannten auf.
Berechne die zweite Seite: Setze den berechneten Wert in die Beziehungsgleichung ein.
Formuliere die Antwort mit den Längen beider Seiten.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Der Flächeninhalt eines Trapezes beträgt $A = 120\,\text{cm}^2$ , die Höhe $h = 10\,\text{cm}$ . Die Seite $c$ ist dreimal so lang wie die Seite $a$ . Berechne die Längen von $a$ und $c$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Einheiten umrechnen
Alle Einheiten ( $\text{cm}^2$ , cm) passen zusammen. Keine Umrechnung nötig.
Schritt 2
Beziehung als Gleichung formulieren
„ $c$ ist dreimal so lang wie $a$ " bedeutet: $c = 3a$ .
Schritt 3
Flächenformel aufstellen und Beziehung einsetzen
$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$

Wir setzen $A=120$ , $h=10$ und $c=3a$ ein:

$120 = \frac{a + 3a}{2} \cdot 10$
Schritt 4
Gleichung nach $a$ auflösen
$120 = \frac{4a}{2} \cdot 10$

$120 = 2a \cdot 10$

$120 = 20a$

Jetzt teilen wir durch 20:

$a = \frac{120}{20} = 6\,\text{cm}$
Schritt 5 · Ergebnis
Zweite Seite berechnen
Wir verwenden die Beziehung aus Schritt 2: $c = 3a$ .

$c = 3 \cdot 6 = 18\,\text{cm}$

Ergebnis:

Die Seite $a$ ist $6\,\text{cm}$ lang und die Seite $c$ ist $18\,\text{cm}$ lang.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Trapez hat eine Fläche von $A = 0{,}48\,\text{m}^2$ und eine Höhe von $h = 60\,\text{cm}$ . Die Seite $a$ ist um $40\,\text{cm}$ länger als die Seite $c$ . Finde die Längen der Seiten $a$ und $c$ .

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Einheiten umrechnen
Die Einheiten sind gemischt ( $\text{m}^2$ , cm). Wir rechnen alles in cm um.

$A = 0{,}48\,\text{m}^2 = 0{,}48 \cdot 10000\,\text{cm}^2 = 4800\,\text{cm}^2$
Schritt 2
Beziehung als Gleichung formulieren
„ $a$ ist um $40\,\text{cm}$ länger als $c$ " bedeutet: $a = c + 40$ .
Schritt 3
Flächenformel aufstellen und Beziehung einsetzen
$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$

Wir setzen $A=4800$ , $h=60$ und $a=c+40$ ein:

$4800 = \frac{(c+40) + c}{2} \cdot 60$
Schritt 4
Gleichung nach $c$ auflösen
$4800 = \frac{2c+40}{2} \cdot 60$

Wir können den Bruch kürzen: $\frac{2c+40}{2} = c+20$ .

$4800 = (c+20) \cdot 60$

Jetzt teilen wir durch 60:

$\frac{4800}{60} = c+20$

$80 = c+20$

Wir subtrahieren 20:

$c = 60\,\text{cm}$
Schritt 5 · Ergebnis
Zweite Seite berechnen
Wir verwenden die Beziehung $a = c + 40$ .

$a = 60 + 40 = 100\,\text{cm}$

Ergebnis:

Die Seite $c$ ist $60\,\text{cm}$ lang und die Seite $a$ ist $100\,\text{cm}$ (oder $1\,\text{m}$ ) lang.

Beispiel 3

Aufgabe

Die Höhe eines Trapezes misst $h=5\,\text{dm}$ , sein Flächeninhalt $A=75\,\text{dm}^2$ . Die Seite $c$ ist nur halb so lang wie die Seite $a$ . Wie lang sind die beiden Seiten?

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Einheiten umrechnen
Alle Einheiten sind in dm, keine Umrechnung nötig.
Schritt 2
Beziehung als Gleichung formulieren
„ $c$ ist halb so lang wie $a$ " bedeutet: $c = 0{,}5a$ .
Schritt 3
Flächenformel aufstellen und Beziehung einsetzen
$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$

$75 = \frac{a + 0{,}5a}{2} \cdot 5$
Schritt 4
Gleichung nach $a$ auflösen
$75 = \frac{1{,}5a}{2} \cdot 5$

Wir teilen zuerst durch 5:

$\frac{75}{5} = \frac{1{,}5a}{2}$

$15 = \frac{1{,}5a}{2}$

Wir multiplizieren mit 2:

$30 = 1{,}5a$

Wir teilen durch 1,5:

$a = \frac{30}{1{,}5} = 20\,\text{dm}$
Schritt 5 · Ergebnis
Zweite Seite berechnen
Wir verwenden die Beziehung $c = 0{,}5a$ .

$c = 0{,}5 \cdot 20 = 10\,\text{dm}$

Ergebnis:

Die Seite $a$ ist $20\,\text{dm}$ lang und die Seite $c$ ist $10\,\text{dm}$ lang.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Trapez hat eine Fläche von $A=99\,\text{m}^2$ und eine Höhe von $h=9\,\text{m}$ . Die Summe der beiden parallelen Seiten $a$ und $c$ beträgt $22\,\text{m}$ . Die Seite $a$ ist länger als die Seite $c$ . Finde die Längen von $a$ und $c$ , wenn ihre Differenz $4\,\text{m}$ beträgt.

Fortschritt

5 / 5

Schritt 1
Einheiten umrechnen
Alle Einheiten passen zusammen.
2
Schritt 2
Beziehung als Gleichung formulieren
Wir haben zwei Beziehungen:
1. $a + c = 22$
2. $a - c = 4$ (da $a$ länger ist)
Aus der zweiten Gleichung können wir ableiten: $a = c + 4$ .
Schritt 3
Flächenformel aufstellen und Beziehung einsetzen
Wir können hier direkt die erste Beziehung nutzen. Die Flächenformel ist $A = \frac{a+c}{2} \cdot h$ . Wir wissen bereits, dass $(a+c)$ gleich 22 ist.

$99 = \frac{22}{2} \cdot 9$

$99 = 11 \cdot 9$

$99 = 99$

Diese Rechnung bestätigt, dass die Werte stimmen, hilft uns aber nicht, $a$ und $c$ einzeln zu finden. Wir müssen die Beziehungen aus Schritt 2 verwenden.
Schritt 4
Gleichungssystem lösen
Wir setzen $a = c + 4$ in die erste Gleichung ein:

$(c+4) + c = 22$

$2c + 4 = 22$

$2c = 18$

$c = 9\,\text{m}$
Schritt 5 · Ergebnis
Zweite Seite berechnen
Wir setzen $c=9$ in die Beziehung $a = c + 4$ ein:

$a = 9 + 4 = 13\,\text{m}$

Ergebnis:

Die Seite $a$ ist $13\,\text{m}$ lang und die Seite $c$ ist $9\,\text{m}$ lang.

Beispiel 5

Aufgabe

Der Flächeninhalt eines Trapezes ist $A=150\,\text{cm}^2$ , die Höhe $h=15\,\text{cm}$ . Seite $a$ ist $8\,\text{cm}$ kürzer als Seite $c$ . Berechne die Längen der beiden Seiten.

Fortschritt

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Schritt 1
Einheiten umrechnen
Alle Einheiten passen zusammen.
Schritt 2
Beziehung als Gleichung formulieren
„ $a$ ist $8\,\text{cm}$ kürzer als $c$ " bedeutet: $a = c - 8$ .
Schritt 3
Flächenformel aufstellen und Beziehung einsetzen
$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$

$150 = \frac{(c-8) + c}{2} \cdot 15$
Schritt 4
Gleichung nach $c$ auflösen
Wir teilen zuerst durch 15:

$\frac{150}{15} = \frac{2c-8}{2}$

$10 = \frac{2c-8}{2}$

Wir kürzen den Bruch auf der rechten Seite:

$10 = c - 4$

Wir addieren 4:

$c = 14\,\text{cm}$
Schritt 5 · Ergebnis
Zweite Seite berechnen
Wir verwenden die Beziehung $a = c - 8$ .

$a = 14 - 8 = 6\,\text{cm}$

Ergebnis:

Die Seite $c$ ist $14\,\text{cm}$ lang und die Seite $a$ ist $6\,\text{cm}$ lang.

Wichtige Erkenntnisse

Zwei Formeln sind alles, was du brauchst:
- Flächeninhalt: $A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
- Umfang: $U = a + b + c + d$
Regel Nummer 1: Immer zuerst alle Längen in die gleiche Einheit umrechnen, bevor du rechnest!
Formeln umstellen: Du kannst die Formeln nach jeder beliebigen Größe auflösen, um fehlende Maße zu finden.
Textaufgaben: Lies genau, um die parallelen Seiten ( $a, c$ ) und die Höhe ( $h$ ) zu identifizieren. Eine Skizze hilft immer.

Fehlende Maße im Trapez berechnen: Schritt für Schritt