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Extrempunkte einfach erklärt
Extrempunkte werden oft in der Schule benötigt und wirken kompliziert. Lies diesen Artikel und lerne, wie du sie sicher berechnen kannst!
Definition
Erklärung
Extrempunkte sind besondere Punkte einer Funktion, an denen die Steigung 0 ist. Dort hat die Funktion entweder einen Hochpunkt (Maximum) oder einen Tiefpunkt (Minimum). Um Extrempunkte zu finden, setzt man zuerst die erste Ableitung der Funktion gleich 0 und überprüft anschließend mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechsel, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Die grundlegende Formel zur Berechnung der Extrempunkte lautet:
Formel zur Berechnung der Extrempunkte:
f'(x) = 0 mit Vorzeichenwechsel
Schema
Vorgehen
Um Extrempunkte zu berechnen, gehst du wie folgt vor:
1. Erste Ableitung der Funktion bilden.
2. Erste Ableitung gleich 0 setzen und nach x auflösen.
3. Zweite Ableitung bilden und die gefundenen x-Werte einsetzen.
4. Ist die zweite Ableitung positiv, liegt ein Tiefpunkt vor. Ist sie negativ, liegt ein Hochpunkt vor. Alternativ kannst du auch den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung untersuchen.
f''(x) > 0 \rightarrow Tiefpunkt; \quad f''(x) < 0 \rightarrow Hochpunkt
Beispiele
- Bestimme die Extrempunkte der Funktion f(x) = x^2.
- 1. Ableitung: f'(x) = 2x. Setze f'(x) = 0 → 2x = 0 → x = 0.
2. Ableitung: f''(x) = 2. Da f''(0) = 2 > 0, liegt bei x = 0 ein Tiefpunkt vor. Der Tiefpunkt ist (0|0).
- Bestimme die Extrempunkte der Funktion f(x) = x^3 - 3x.
- 1. Ableitung: f'(x) = 3x^2 - 3. Setze f'(x) = 0 → 3x^2 - 3 = 0 → x^2 = 1 → x_1 = 1, x_2 = -1.
2. Ableitung: f''(x) = 6x. f''(1) = 6 > 0 → Tiefpunkt bei x = 1. f''(-1) = -6 < 0 → Hochpunkt bei x = -1. Tiefpunkt (1|-2), Hochpunkt (-1|2).
Zusammenfassung
Merkkasten
- Extrempunkte sind Punkte, an denen die Steigung 0 ist.
- Die zweite Ableitung oder der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung zeigt, ob Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.
Üben
Aufgaben
- Bestimme die Extrempunkte der Funktion f(x) = x^2 - 4x + 3.
- f'(x) = 2x - 4. Setze f'(x) = 0 → 2x - 4 = 0 → x = 2. f''(x) = 2 > 0 → Tiefpunkt bei x = 2. Tiefpunkt (2|-1).
- Bestimme die Extrempunkte der Funktion f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.
- f'(x) = 3x^2 - 12x + 9.
Setze f'(x) = 0 → 3(x^2 - 4x + 3) = 0 → x_1 = 1, x_2 = 3.
f''(x) = 6x - 12.
f''(1) = -6 < 0 → Hochpunkt bei x = 1.
f''(3) = 6 > 0 → Tiefpunkt bei x = 3.
Hochpunkt (1|4), Tiefpunkt (3|0).
- Bestimme die Extrempunkte der Funktion f(x) = x^4 - 8x^2 + 16.
- f'(x) = 4x^3 - 16x. Setze f'(x) = 0 → 4x(x^2 - 4) = 0 → x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = -2.
f''(x) = 12x^2 - 16.
f''(0) = -16 < 0 → Hochpunkt bei x = 0.
f''(2) = 32 > 0 → Tiefpunkt bei x = 2.
f''(-2) = 32 > 0 → Tiefpunkt bei x = -2.
Hochpunkt (0|16), Tiefpunkte (2|0), (-2|0).
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