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Exponentialfunktionen
Mit diesem Artikel lernst du, Exponentialfunktionen zu meistern. Die folgenden Themen kamen 24-mal in den letzten Abi-Prüfungen vor:
Definition
Erklärung
Exponentialfunktionen sind Funktionen, bei denen die Variable im Exponenten steht. Sie haben die Form f(x)=a \cdot b^x. Hierbei ist a der Startwert und b der Wachstumsfaktor. Ist b>1 wird die Funktion wachsen, während sie bei 0<b<1 abnimmt.
f(x)=a \cdot b^x
Schema
Vorgehen
Funktionsterm aufstellen
f(x)=a \cdot b^x
Beispiel
- Gegeben: a = 2 und b = 3. Bestimme den Funktionsterm.
Startwert bestimmen
f(0)=a
Beispiel
- Wenn f(0)=5 gilt, ist a der Startwert.
Wachstumsfaktor ermitteln
b=f(x+1)/f(x)
Beispiel
- Bei f(1)=6 und f(0)=2 berechnet man b = 6/2.
Eigenschaften analysieren
Wenn b>1 gilt, wächst die Funktion; bei 0<b<1 nimmt sie ab.
Beispiel
- Beispiel: Mit b = 0.5 sinkt die Funktion stetig.
Häufige Fehler
Missverständnisse
- Es wird oft vergessen, den Exponenten als Variable und nicht als Multiplikator zu behandeln.
- Es wird oft übersehen, dass f(0)=a den Startwert angibt.
- Häufig wird der Wachstumsfaktor b mit dem Startwert a verwechselt.
Üben
Aufgaben
- Aufgabe (Einfach): Gegeben: a = 3 und b = 2. Schreibe den Funktionsterm f(x)=3 \cdot 2^x und berechne f(1).
- Aufgabe (Mittel): Gegeben: f(0)=4 und f(2)=16. Bestimme den Startwert a und den Wachstumsfaktor b.
- Aufgabe (Schwer): Für die natürliche Exponentialfunktion gilt f(x)=a \cdot e^{kx}. Gegeben sind f(1)=5 und f(3)=20. Bestimme a und k.
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