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Die erste Ableitung einfach erklärt
Oft gefürchtet, aber wichtig in der Schule: Lerne hier, wie du die momentane Änderungsrate verstehst und sicher berechnen kannst!
Definition
Erklärung
Die erste Ableitung einer Funktion f beschreibt die momentane Änderungsrate von f und wird mit f' bezeichnet. Die Ableitung f' gibt an, wie steil der Graph von f an einer bestimmten Stelle ist.
Die Steigung zwischen zwei Punkten P(x_1|y_1) und P(x_2|y_2) wird mit \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} berechnet. Da f' die Steigung des Graphen von f an einer (und nicht zwei) Stellen betrachtet, lässt man in der Formel den Abstand zwischen den Punkten gegen null gehen. So erhalten wir die Definition der Ableitung f':
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Schema
Vorgehen
Um die momentane Änderungsrate zu bestimmen, leitest du die Funktion mit Hilfe der Ableitungsregeln ab. Die wichtigsten Ableitungsregeln sind:", "SCHEMA_FORMULA": "f'(x)=n \cdot x^{n-1}
1. Potenzregel: f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=n \cdot x^{n-1}
2. Faktorregel: f(x)=c \cdot g(x) \rightarrow f'(x)=c \cdot g'(x)
3. Summenregel: f(x)=g(x)+h(x) \rightarrow f'(x)=g'(x)+h'(x)
Beispiele
- Leite die Funktion f(x)=4x^3 ab.
- f'(x)=12x^2 (Potenzregel angewendet)
- Leite die Funktion f(x)=5x^2-3x+7 ab.
- f'(x)=10x-3 (Potenz- und Summenregel angewendet)
Zusammenfassung
Merkkasten
- Die erste Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate und die Steigung einer Funktion.
- Nutze Ableitungsregeln (Potenz-, Faktor- und Summenregel), um Graphen ableiten zu können.
Üben
Aufgaben
- Leite die Funktion f(x)=x^4 ab.
- f'(x)=4x^3
- Bestimme die erste Ableitung von f(x)=2x^3-4x^2+x.
- f'(x)=6x^2-8x+1
- Berechne die erste Ableitung der Funktion f(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^3+5x-9.
- f'(x)=2x^3-9x^2+5
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