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Die Ableitung der e-Funktion.
Die Ableitung der e-Funktion ist ein häufig behandeltes Thema in der Schule. Mit diesem Artikel wirst du lernen, wie man die e Funktion ableiten kann.
Definition
Die e-Funktion, auch als Exponentialfunktion bezeichnet, hat die Form f(x) = e^x. Hierbei ist e eine mathematische Konstante, ungefähr 2,71828.
Das Besondere an der e-Funktion ist, dass ihre Ableitung identisch mit der Funktion selbst ist. Das bedeutet:
f'(x) = e^x
Schema
Schema zur Ableitung von Exponentialfunktionen
Um eine Exponentialfunktion der Form f(x) = a \cdot e^{b \cdot x} abzuleiten, multipliziere mit der Konstante b. Die Ableitungsregel lautet:
f'(x) = a \cdot b \cdot e^{b \cdot x}
Neben der e-Funktion gibt es auch andere Exponentialfunktionen, wie f(x) = a^x. Die Ableitung solcher Funktionen lautet:
f'(x) =a^x \cdot ln(a)
Beispiel zur Ableitung von Exponentialfunktionen
- Funktion: f(x) =2^x
- Ableitung: f'(x) = 2^x \cdot ln(2)
- Funktion: g(x) =3 \cdot e^{2x}
- Ableitung: g'(x) = 3 \cdot 2 \cdot e^{2x} = 6 \cdot e^{2x}
Zusammenfassung
Zusammenfassung
- Die Ableitung der e-Funktion ist e^x.
- Bei anderen Exponentialfunktionen a^x wird zusätzlich der natürliche Logarithmus der Basis, also ln(a), multipliziert.
Üben
Aufgaben
- 1. Differentiate f(x) = 5 \cdot e^{-3x} ab.
- Lösung: f'(x) = 5 \cdot (-3) \cdot e^{-3x} = -15 \cdot e^{-3x}.
- 2. Differentiate g(x) = -2 \cdot 1,5^{-x} ab.
- Lösung: g'(x) = -2 \cdot (-1) \cdot 1,5^{-x} \cdot \ln(1,5) = 2 \ln(1,5) \cdot 1,5^{-x}
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