Was ist direkte Proportionalität?

Eine direkte Proportionalität liegt vor, wenn zwei Größen so zusammenhängen, dass ihr Quotient immer konstant ist. Grafisch bedeutet das: Der Graph der Funktion ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung (0|0) geht. Die Formel lautet y = k · x , wobei k der Proportionalitätsfaktor ist. Typische Beispiele sind Preis und Anzahl gleichteurer Artikel oder Strecke und Benzinverbrauch bei konstantem Verbrauch.

Wie überprüfst du mit dem Quotienten, ob ein Zusammenhang direkt proportional ist?

Berechne für jedes Wertepaar den Quotienten k = y / x . Sind alle Quotienten exakt gleich, ist der Zusammenhang direkt proportional . Weicht auch nur ein einziger Quotient ab, ist er es nicht . Wichtig: Den Wert x = 0 lässt du bei dieser Methode aus, da man nicht durch 0 teilen darf.

Wann schlägt der Null-Check oder Doppel-Check fehl?

Der Null-Check schlägt fehl, wenn die zweite Größe bei einer Eingabe von 0 nicht auch 0 ergibt – zum Beispiel ist ein Neugeborenes nicht 0 cm groß. Der Doppel-Check schlägt fehl, wenn sich die zweite Größe beim Verdoppeln der ersten nicht ebenfalls verdoppelt – zum Beispiel bei Lernzeit und Testpunkten, wo eine Verdopplung der Lernstunden die Punktzahl nicht verdoppelt. Scheitert einer der beiden Checks, liegt keine direkte Proportionalität vor.

Warum ist der Taxitarif kein Beispiel für direkte Proportionalität?

Ein Taxitarif besteht aus einer Grundgebühr (z. B. 4 €) plus einem Betrag pro Kilometer. Für 0 km zahlt man also bereits 4 €, nicht 0 €. Der Graph schneidet die y-Achse bei (0|4) und geht damit nicht durch den Ursprung (0|0). Damit ist die Grundbedingung der direkten Proportionalität verletzt – es liegt lediglich eine lineare Funktion vor.

Direkte Proportionalität prüfen erklärt

Q: Was ist der Unterschied zwischen einer linearen Funktion und einer direkt proportionalen Funktion?

Eine lineare Funktion hat als Graph eine Gerade – sie kann die y-Achse an beliebiger Stelle schneiden. Eine direkt proportionale Funktion ist ein Spezialfall: Ihr Graph ist ebenfalls eine Gerade, muss aber zwingend durch den Ursprung (0|0) gehen. Jede direkt proportionale Funktion ist also linear, aber nicht jede lineare Funktion ist direkt proportional.

Direkte Proportionalität überprüfen ist eine der wichtigsten Fähigkeiten im Mathe-Unterricht – und im Alltag. Stell dir vor, du kaufst online ein: Ein T-Shirt kostet 15 €, zwei kosten 30 €, aber drei kosten plötzlich 50 €. Moment mal! Genau hier kommt die direkte Proportionalität ins Spiel. Sie ist wie ein eingebauter „Fairness-Detektor". Wenn du verstehst, wie man sie überprüft, kannst du sofort erkennen, ob ein Angebot logisch ist oder ob dich jemand über den Tisch ziehen will – sei es beim Handytarif, beim Einkaufen oder bei Rabattaktionen. Dieses Wissen ist dein persönlicher Filter für Zahlen!

Schnellantwort

Eine direkt proportionale Funktion ist ein Spezialfall der linearen Funktion: Ihr Graph ist eine Gerade, die zwingend durch den Koordinatenursprung (0|0) geht. Rechnerisch bedeutet das: Der Quotient $k = y/x$ ist für alle Wertepaare konstant. Logisch bedeutet das: Wenn eine Größe null ist, ist auch die andere null, und wenn sich eine Größe verdoppelt, verdoppelt sich auch die andere.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Lineare Funktion: Das ist eine Funktion, deren Graph eine perfekte Gerade ist. Ihre allgemeine Formel lautet: $y = m \cdot x + b$ .
- Beispiel: Die Funktion $y = 2x + 1$ ist eine lineare Funktion. Ihr Graph ist eine Gerade.
Koordinatenursprung: Das ist der Punkt, an dem sich die x-Achse und die y-Achse treffen. Er hat immer die Koordinaten (0|0).
Quotient: Das ist einfach das Ergebnis, das du erhältst, wenn du eine Zahl durch eine andere teilst.
- Beispiel: Der Quotient aus 20 und 5 ist 4, denn $20 : 5 = 4$ .

Aufgabentyp 1: Direkte Proportionalität und lineare Funktionen unterscheiden

Was ist der Unterschied zwischen einer „linearen Funktion" und einer „direkt proportionalen Funktion"? Es ist ganz einfach!

Eine lineare Funktion ist jede Funktion, deren Graph eine Gerade ist. Sie kann die y-Achse schneiden, wo sie will.

Lineare Funktion als Gerade ohne Ursprungsbedingung

Eine direkt proportionale Funktion ist ein Spezialfall. Ihr Graph ist auch eine Gerade, aber sie muss zusätzlich immer durch den Koordinatenursprung (0|0) gehen.

Direkt proportionale Funktion als Gerade durch den Ursprung

Die Regel lautet also: Jede direkt proportionale Funktion ist auch eine lineare Funktion (weil sie eine Gerade ist). Aber nicht jede lineare Funktion ist direkt proportional (weil nicht jede Gerade durch den Ursprung geht).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Definitionen abrufen: Erinnere dich: Lineare Funktion = Gerade. Direkt proportionale Funktion = Gerade durch den Ursprung (0|0).
Erste Aussage prüfen: Setze die Definitionen ein und frage: „Ist jede Gerade durch den Ursprung auch eine Gerade?"
Zweite Aussage prüfen: Setze die Definitionen ein und frage: „Ist jede Gerade auch eine Gerade durch den Ursprung?"
Schlussfolgerung ziehen: Fasse zusammen, welche Aussage wahr und welche falsch ist.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Melissa sagt: „Jede direkt proportionale Funktion ist linear." Alex sagt: „Jede lineare Funktion ist direkt proportional." Welche der Aussagen ist korrekt? Begründe deine Antwort.

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Definitionen abrufen
- Eine lineare Funktion hat als Graph eine Gerade.
- Eine direkt proportionale Funktion hat als Graph eine Gerade, die durch den Ursprung (0|0) geht.
Schritt 2
Melissas Aussage prüfen
Melissa sagt: „Jede direkt proportionale Funktion ist linear."

Wir setzen die Definitionen ein: „Jede Gerade, die durch den Ursprung geht, ist eine Gerade."

Diese Aussage ist wahr. Eine Gerade durch den Ursprung ist und bleibt eine Gerade.
Schritt 3
Alex' Aussage prüfen
Alex sagt: „Jede lineare Funktion ist direkt proportional."

Wir setzen die Definitionen ein: „Jede Gerade ist eine Gerade, die durch den Ursprung geht."

Diese Aussage ist falsch. Zum Beispiel ist die Funktion $y = x + 1$ linear (eine Gerade), aber sie geht nicht durch den Ursprung. Also ist sie nicht direkt proportional.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Nur die Aussage von Melissa ist korrekt.

Ergebnis:

Melissas Aussage ist wahr, Alex' Aussage ist falsch.

Beispiel 2

Aufgabe

Ist die Funktion mit der Gleichung $y = 5x$ eine direkt proportionale Funktion? Begründe.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Definitionen abrufen
Eine direkt proportionale Funktion ist eine Gerade, die durch den Ursprung (0|0) geht.
Schritt 2
Graphen analysieren
Die Gleichung $y = 5x$ ist eine lineare Funktion, ihr Graph ist also eine Gerade.
Schritt 3
Ursprungs-Check durchführen
Wir setzen $x = 0$ in die Gleichung ein, um zu prüfen, ob sie durch den Ursprung geht.

$y = 5 \cdot 0$

$y = 0$

Der Punkt (0|0) liegt auf der Geraden.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da der Graph eine Gerade ist und durch den Ursprung geht, ist die Funktion $y = 5x$ direkt proportional.

Ergebnis:

$y = 5x$ ist direkt proportional.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Taxitarif berechnet sich aus einer Grundgebühr von 4 € und 2 € pro gefahrenem Kilometer. Ist der Gesamtpreis direkt proportional zur gefahrenen Strecke? Begründe.

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Definitionen abrufen
Eine direkt proportionale Beziehung muss bei „Nichts" auch „Nichts" ergeben. Also bei 0 km muss der Preis 0 € sein.
Schritt 2
Ursprungs-Check durchführen
Wir prüfen den Preis für eine Fahrt von 0 Kilometern.

Preis = Grundgebühr + Preis pro km $\cdot$ Kilometer

Preis = $4€ + 2€ \cdot 0$

Preis = $4€$

Für 0 km zahlt man 4 €. Der Punkt ist also (0|4), nicht (0|0).
Schritt 3 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da der Graph der Funktion nicht durch den Ursprung geht, ist der Zusammenhang nicht direkt proportional.

Ergebnis:

Der Taxitarif ist nicht direkt proportional zur gefahrenen Strecke.

Beispiel 4

Aufgabe

Betrachte die Funktion $y = -2x + 3$ . Ist sie direkt proportional? Begründe.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Definitionen abrufen
Eine direkt proportionale Funktion ist eine Gerade, die durch den Ursprung (0|0) geht.
Schritt 2
Graphen analysieren
Die Gleichung $y = -2x + 3$ ist eine lineare Funktion, ihr Graph ist also eine Gerade.
Schritt 3
Ursprungs-Check durchführen
Wir setzen $x = 0$ in die Gleichung ein:

$y = -2 \cdot 0 + 3$

$y = 3$

Der Graph geht durch den Punkt (0|3), aber nicht durch den Ursprung (0|0).
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Die Funktion ist linear, aber nicht direkt proportional.

Ergebnis:

$y = -2x + 3$ ist nicht direkt proportional.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Graph einer Funktion ist eine Gerade, die durch die Punkte P(2|6) und Q(4|12) verläuft. Handelt es sich um eine direkt proportionale Funktion?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Definitionen abrufen
Eine direkt proportionale Funktion ist eine Gerade, die durch den Ursprung (0|0) geht.
Schritt 2
Ursprungs-Check durchführen
Wir wissen, dass der Graph eine Gerade ist. Wir müssen nur noch prüfen, ob sie durch den Ursprung geht. Bei einer Geraden durch den Ursprung ist der Quotient $y/x$ immer gleich.

Für Punkt P(2|6): $\frac{6}{2} = 3$

Für Punkt Q(4|12): $\frac{12}{4} = 3$

Der Quotient ist konstant. Die Funktionsgleichung lautet also $y = 3x$ . Wenn wir hier $x = 0$ einsetzen, erhalten wir $y = 0$ . Der Graph geht also durch den Ursprung (0|0).
Schritt 3 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Ja, es handelt sich um eine direkt proportionale Funktion.

Ergebnis:

Der Graph durch P(2|6) und Q(4|12) ist direkt proportional.

Aufgabentyp 2: Proportionalität mit dem Quotienten prüfen

Wenn zwei Größen direkt proportional zueinander sind, haben sie eine besondere Eigenschaft: Der Quotient aus den zusammengehörigen Werten ist immer gleich. Diesen konstanten Wert nennt man den Proportionalitätsfaktor k.

Die Formel dafür lautet:

$k = \frac{\text{zugeordneter Wert (y)}}{\text{Ausgangswert (x)}}$

Um zu überprüfen, ob ein Zusammenhang direkt proportional ist, berechnest du einfach für jedes Wertepaar diesen Quotienten.

Sind alle Quotienten gleich? $\to$ Ja, der Zusammenhang ist direkt proportional.
Ist auch nur ein Quotient anders? $\to$ Nein, der Zusammenhang ist nicht direkt proportional.

Wichtiger Hinweis: Der Ausgangswert $x$ darf nicht 0 sein, da man nicht durch 0 teilen darf. Der Punkt (0|0) gehört zwar zur Proportionalität, aber zur Überprüfung mit dem Quotienten klammern wir ihn aus.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wertepaare identifizieren: Lies alle zusammengehörigen Wertepaare (x|y) aus der Aufgabe heraus. Das kann ein Text oder eine Tabelle sein.
Quotienten berechnen: Berechne für jedes einzelne Wertepaar den Quotienten $k = \frac{y}{x}$ .
Quotienten vergleichen: Schreibe alle berechneten Quotienten nebeneinander und vergleiche sie.
Schlussfolgerung ziehen: Wenn alle Quotienten exakt gleich sind, ist der Zusammenhang direkt proportional. Wenn sich die Quotienten unterscheiden, ist der Zusammenhang nicht direkt proportional.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Eine Packung mit 6 Schokoriegeln wiegt 200 g. Eine Packung mit 12 Schokoriegeln wiegt 400 g. Eine Packung mit 15 Schokoriegeln wiegt 450 g. Überprüfe, ob es sich um die gleiche Sorte handeln kann. (Nimm an, dass Riegel derselben Sorte gleich viel wiegen.)

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Wertepaare identifizieren
- Paar 1: (x = 6 Riegel | y = 200 g)
- Paar 2: (x = 12 Riegel | y = 400 g)
- Paar 3: (x = 15 Riegel | y = 450 g)
2
Schritt 2
Quotienten berechnen
Wir berechnen $k = \frac{\text{Gewicht}}{\text{Anzahl Riegel}}$ für jede Packung.
- Packung 1: $k = \frac{200}{6} \approx 33{,}33 \text{ g/Riegel}$
- Packung 2: $k = \frac{400}{12} \approx 33{,}33 \text{ g/Riegel}$
- Packung 3: $k = \frac{450}{15} = 30 \text{ g/Riegel}$
Schritt 3
Quotienten vergleichen
Die ersten beiden Quotienten sind gleich ( $\approx 33{,}33$ ), aber der dritte ist anders (30).
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Da nicht alle Riegel gleich viel wiegen, kann es sich bei der 15er-Packung nicht um die gleiche Sorte handeln wie bei den anderen beiden.

Ergebnis:

Die 15er-Packung gehört nicht zur gleichen Sorte.

Beispiel 2

Aufgabe

Ein Auto verbraucht auf 100 km 7 Liter Benzin, auf 250 km 17,5 Liter und auf 400 km 28 Liter. Ist der Benzinverbrauch direkt proportional zur gefahrenen Strecke?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Wertepaare identifizieren
- Paar 1: (x = 100 km | y = 7 l)
- Paar 2: (x = 250 km | y = 17,5 l)
- Paar 3: (x = 400 km | y = 28 l)
2
Schritt 2
Quotienten berechnen
Wir berechnen $k = \frac{\text{Liter}}{\text{Kilometer}}$ für jede Messung.
- Messung 1: $k = \frac{7}{100} = 0{,}07 \text{ l/km}$
- Messung 2: $k = \frac{17{,}5}{250} = 0{,}07 \text{ l/km}$
- Messung 3: $k = \frac{28}{400} = 0{,}07 \text{ l/km}$
Schritt 3
Quotienten vergleichen
Alle drei Quotienten sind exakt gleich (0,07).
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Ja, der Benzinverbrauch ist direkt proportional zur gefahrenen Strecke.

Ergebnis:

Der Benzinverbrauch ist direkt proportional zur Strecke.

Beispiel 3

Aufgabe

Prüfe anhand der Wertetabelle, ob die Zuordnung $x \to y$ direkt proportional ist.

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 5 & 8 \\ \hline y & 3 & 7{,}5 & 12 \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Wertepaare identifizieren
- Paar 1: (2 | 3)
- Paar 2: (5 | 7,5)
- Paar 3: (8 | 12)
2
Schritt 2
Quotienten berechnen
Wir berechnen für jedes Paar $k = \frac{y}{x}$ .
- Paar 1: $k = \frac{3}{2} = 1{,}5$
- Paar 2: $k = \frac{7{,}5}{5} = 1{,}5$
- Paar 3: $k = \frac{12}{8} = 1{,}5$
Schritt 3
Quotienten vergleichen
Alle drei Quotienten sind gleich (1,5).
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Ja, die Zuordnung ist direkt proportional.

Ergebnis:

Die Zuordnung in der Tabelle ist direkt proportional mit $k = 1{,}5$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Bäcker verkauft Brötchen. 3 Brötchen kosten 1,20 €, 5 Brötchen kosten 2,00 €, aber 10 Brötchen kosten im Angebot nur 3,50 €. Ist der Preis direkt proportional zur Anzahl der Brötchen?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Wertepaare identifizieren
- Paar 1: (3 Brötchen | 1,20 €)
- Paar 2: (5 Brötchen | 2,00 €)
- Paar 3: (10 Brötchen | 3,50 €)
2
Schritt 2
Quotienten berechnen
Wir berechnen den Preis pro Brötchen $k = \frac{\text{Preis}}{\text{Anzahl}}$ .
- Fall 1: $k = \frac{1{,}20}{3} = 0{,}40 \text{ €/Brötchen}$
- Fall 2: $k = \frac{2{,}00}{5} = 0{,}40 \text{ €/Brötchen}$
- Fall 3: $k = \frac{3{,}50}{10} = 0{,}35 \text{ €/Brötchen}$
Schritt 3
Quotienten vergleichen
Die ersten beiden Quotienten sind gleich (0,40), aber der dritte ist wegen des Angebots anders (0,35).
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Nein, der Preis ist insgesamt nicht direkt proportional zur Anzahl der Brötchen.

Ergebnis:

Wegen des Angebots ist die Proportionalität nicht gegeben.

Beispiel 5

Aufgabe

Prüfe anhand der Wertetabelle, ob die Zuordnung $x \to y$ direkt proportional ist.

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 4 & 6 & 10 \\ \hline y & 10 & 14 & 25 \\ \hline \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Wertepaare identifizieren
- Paar 1: (4 | 10)
- Paar 2: (6 | 14)
- Paar 3: (10 | 25)
2
Schritt 2
Quotienten berechnen
Wir berechnen für jedes Paar $k = \frac{y}{x}$ .
- Paar 1: $k = \frac{10}{4} = 2{,}5$
- Paar 2: $k = \frac{14}{6} \approx 2{,}33$
- Paar 3: $k = \frac{25}{10} = 2{,}5$
Schritt 3
Quotienten vergleichen
Die Quotienten sind nicht alle gleich (2,5 vs. 2,33).
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
Nein, die Zuordnung ist nicht direkt proportional.

Ergebnis:

Da die Quotienten abweichen, liegt keine direkte Proportionalität vor.

Aufgabentyp 3: Proportionalität im Sachverhalt erkennen

Manchmal hast du keine Zahlen gegeben, sondern nur eine Beschreibung. Um hier zu entscheiden, ob ein Zusammenhang direkt proportional ist, kannst du zwei einfache logische Tests im Kopf durchführen:

Der Null-Check: Wenn die eine Größe 0 ist, muss dann auch die andere Größe 0 sein? Beispiel: Wenn du 0 Äpfel kaufst, beträgt der Preis 0 €. (Check bestanden!)
Der Doppel-Check: Wenn du die eine Größe verdoppelst, verdoppelt sich dann logischerweise auch die andere Größe? Beispiel: Wenn du doppelt so viele Äpfel kaufst, zahlst du auch den doppelten Preis. (Check bestanden!)

Wenn beide Checks mit „Ja" beantwortet werden, handelt es sich um einen direkt proportionalen Zusammenhang. Wenn auch nur einer fehlschlägt, ist er es nicht.

Achtung: Verwechsle das nicht mit „je mehr, desto weniger". Das nennt man antiproportional oder umgekehrt proportional (z. B. mehr Arbeiter $\to$ weniger Zeit).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Zusammenhang verstehen: Lies die Beschreibung genau durch und verstehe, welche zwei Größen voneinander abhängen.
Den Null-Check durchführen: Frage: „Wenn die erste Größe 0 ist, ist dann die zweite Größe zwangsläufig auch 0?"
Den Doppel-Check durchführen: Frage: „Wenn ich die erste Größe verdopple, verdoppelt sich dann auch die zweite Größe?"
Schlussfolgerung ziehen: Sind beide Antworten „Ja" $\to$ direkt proportional. Ist mindestens eine Antwort „Nein" $\to$ nicht direkt proportional.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Überprüfe bei den folgenden drei Beispielen jeweils, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt: (1) Die Menge an verbrauchtem Benzin und die gefahrene Strecke eines Autos. (2) Die Anzahl der Stunden, die ein Schüler lernt, und seine Punkte im Mathetest. (3) Die Anzahl der Arbeiter auf einer Baustelle und die Zeit, die benötigt wird, um ein Haus zu bauen.

Fortschritt

1 / 1

1
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung ziehen
- (1) Benzinverbrauch und Strecke: direkt proportional.
- (2) Lernzeit und Testpunkte: nicht direkt proportional.
- (3) Arbeiter und Bauzeit: nicht direkt proportional (antiproportional).

Ergebnis:

Nur der Benzinverbrauch ist direkt proportional zur Strecke.

Beispiel 2

Aufgabe

Ist das Alter einer Person direkt proportional zu ihrer Körpergröße?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Zusammenhang verstehen
Wir vergleichen das Alter einer Person mit ihrer Körpergröße.
Schritt 2
Null-Check
Ein Baby im Alter von 0 Jahren ist nicht 0 cm groß. $\to$ Check fehlgeschlagen.
Schritt 3
Doppel-Check
Ein 10-jähriges Kind ist nicht doppelt so groß wie ein 5-jähriges Kind. Ein 40-jähriger Erwachsener ist nicht doppelt so groß wie ein 20-jähriger. $\to$ Check fehlgeschlagen.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung
Der Zusammenhang ist nicht direkt proportional.

Ergebnis:

Alter und Körpergröße sind nicht direkt proportional.

Beispiel 3

Aufgabe

Ist die Anzahl der gekauften Kinokarten direkt proportional zum Gesamtpreis?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Zusammenhang verstehen
Wir vergleichen die Anzahl der Tickets mit dem Preis, den man dafür zahlt.
Schritt 2
Null-Check
Wenn man 0 Kinokarten kauft, zahlt man 0 €. $\to$ Ja.
Schritt 3
Doppel-Check
Wenn man doppelt so viele Karten kauft (z. B. 4 statt 2), zahlt man auch den doppelten Preis. (Wir gehen von keinem Mengenrabatt aus.) $\to$ Ja.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung
Der Zusammenhang ist direkt proportional.

Ergebnis:

Die Anzahl der Kinokarten ist direkt proportional zum Gesamtpreis.

Beispiel 4

Aufgabe

Ist die Anzahl der gelesenen Seiten eines Buches direkt proportional zur verbleibenden Anzahl an Seiten?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Zusammenhang verstehen
Wir vergleichen die gelesenen Seiten mit den noch zu lesenden Seiten.
Schritt 2
Null-Check
Wenn man 0 Seiten gelesen hat, ist die Anzahl der verbleibenden Seiten die Gesamtseitenzahl des Buches, nicht 0. $\to$ Check fehlgeschlagen.
Schritt 3
Doppel-Check
Wenn man mehr liest, werden die verbleibenden Seiten weniger. Das ist ein „je mehr, desto weniger"-Zusammenhang. $\to$ Check fehlgeschlagen.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung
Der Zusammenhang ist nicht direkt proportional.

Ergebnis:

Gelesene Seiten und verbleibende Seiten sind nicht direkt proportional.

Beispiel 5

Aufgabe

Ist die Wassermenge, die aus einem Gartenschlauch fließt, direkt proportional zur Zeit, die der Wasserhahn aufgedreht ist?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Zusammenhang verstehen
Wir vergleichen die Zeit, in der das Wasser läuft, mit der gesamten Wassermenge.
Schritt 2
Null-Check
Wenn der Hahn für 0 Sekunden aufgedreht ist, fließt auch 0 Liter Wasser heraus. $\to$ Ja.
Schritt 3
Doppel-Check
Wenn man den Hahn doppelt so lange laufen lässt (z. B. 2 Minuten statt 1 Minute), kommt auch die doppelte Menge Wasser heraus. $\to$ Ja.
Schritt 4 · Ergebnis
Schlussfolgerung
Der Zusammenhang ist direkt proportional.

Ergebnis:

Laufzeit und Wassermenge sind direkt proportional.

Wichtige Erkenntnisse

Eine Beziehung ist direkt proportional, wenn ihr Graph eine Gerade ist, die durch den Ursprung (0|0) geht.
Rechnerische Prüfung: Der Quotient $k = \frac{y}{x}$ muss für alle Wertepaare konstant (gleich) sein.
Logische Prüfung: Der Null-Check (0 $\to$ 0) und der Doppel-Check (doppelt $\to$ doppelt) müssen beide zutreffen.
Jede direkt proportionale Funktion ist linear, aber nicht jede lineare Funktion ist direkt proportional.

Direkte Proportionalität überprüfen – einfach erklärt

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Direkte Proportionalität und lineare Funktionen unterscheiden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Proportionalität mit dem Quotienten prüfen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Proportionalität im Sachverhalt erkennen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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