Direkte Proportionalität berechnen: Schritt für Schritt

Hast du dich im Supermarkt schon mal gefragt, ob die große Packung Nudeln wirklich günstiger ist als die kleine? Unternehmen nutzen verschiedene Packungsgrößen und Preise, um uns zu verwirren. Aber mit direkter Proportionalität berechnen hast du den ultimativen Trick, um Marketing-Fallen zu durchschauen! Du lernst hier, wie du den wahren Preis pro Kilogramm oder pro Liter ermittelst – den sogenannten Grundpreis. So sparst du echtes Geld und lässt dich nicht über den Tisch ziehen.

Schnellantwort

Eine Zuordnung ist direkt proportional, wenn zwei Größen im gleichen Verhältnis zueinander stehen: Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere – und halbiert sie sich, halbiert sich auch die andere. Der Schlüssel ist der Proportionalitätsfaktor k, der das konstante Verhältnis zwischen den beiden Größen beschreibt. Du berechnest ihn mit der Formel k = y / x und kannst damit jeden fehlenden Wert ermitteln.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen, die du brauchen wirst:

• Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren: Das Rechnen mit Kommazahlen ist entscheidend, um Preise oder Mengen zu bestimmen.

  • Beispiel: $2{,}50 \text{ €} \cdot 1{,}5 = 3{,}75 \text{ €}$ oder $10 \text{ €} : 4 = 2{,}50 \text{ €}$.

• Einheiten umrechnen (Gewicht): Oft musst du Gramm in Kilogramm umwandeln, um Preise fair vergleichen zu können.

  • Formel: $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$
  • Beispiel: $500 \text{ g}$ sind das Gleiche wie $0{,}5 \text{ kg}$.

• Brüche erweitern: Manchmal ist es einfacher, einen Bruch zu erweitern, um einen fehlenden Wert zu finden.

  • Beispiel: Um den Nenner in $\frac{2}{5} = \frac{4}{?}$ zu finden, erweiterst du den linken Bruch mit 2: $\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10}$. Der gesuchte Nenner ist also 10.

Aufgabentyp 1: Wertetabelle ausfüllen

Eine Zuordnung ist direkt proportional, wenn zwei Größen im gleichen Verhältnis zueinander stehen. Das bedeutet:

• „Je mehr, desto mehr": Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere.
• „Je weniger, desto weniger": Halbiert sich die eine Größe, halbiert sich auch die andere.

Das Wichtigste bei einer direkten Proportionalität ist der Proportionalitätsfaktor (oft mit k abgekürzt). Er beschreibt das konstante Verhältnis zwischen den beiden Größen. Du berechnest ihn, indem du einen y-Wert durch den zugehörigen x-Wert teilst.

Die Formel lautet:

$k = \frac{y}{x}$

Sobald du k kennst, kannst du jeden fehlenden Wert berechnen, indem du die Formel umstellst:

$y = k \cdot x$

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Vollständiges Wertepaar finden: Suche in der Tabelle eine Spalte, in der sowohl der x-Wert (obere Zeile) als auch der y-Wert (untere Zeile) gegeben sind.
2. Proportionalitätsfaktor k berechnen: Nimm das gefundene Wertepaar und berechne k mit der Formel k = y / x.
3. Fehlende y-Werte berechnen: Wenn ein y-Wert fehlt, nimm den zugehörigen x-Wert aus derselben Spalte und multipliziere ihn mit k: y = k · x.
4. Fehlende x-Werte berechnen: Wenn ein x-Wert fehlt, nimm den zugehörigen y-Wert und teile ihn durch k: x = y / k.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Die Tabelle beschreibt eine direkte Proportionalität. Fülle die leeren Felder aus.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Vollständiges Wertepaar finden

   In der zweiten Spalte sind beide Werte gegeben: x = 2 und y = 24.

2. 2
   Schritt 2
   Proportionalitätsfaktor k berechnen

   Wir setzen die Werte in die Formel ein:

   $k = \frac{y}{x} = \frac{24}{2} = 12$

   Der Proportionalitätsfaktor ist k = 12.

3. 3
   Schritt 3 & 4 · Ergebnis
   Fehlende Werte berechnen

   • 1. Spalte (y fehlt): $y = 12 \cdot 1 = 12$

   • 3. Spalte (y fehlt): $y = 12 \cdot 3 = 36$

   • 4. Spalte (x fehlt): $x = \frac{12}{12} = 1$

   • 5. Spalte (y fehlt): $y = 12 \cdot 8 = 96$

Ergebnis:

Die ausgefüllte Tabelle zeigt die Werte 12, 24, 36, 1 und 96.

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Saftpresse ist direkt proportional in ihrer Leistung. Vervollständige die Tabelle, die die Anzahl der Orangen (x) und die Menge an Saft in ml (y) zeigt.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Vollständiges Wertepaar finden

   Das vollständige Paar ist x = 10 Orangen und y = 600 ml Saft.

2. 2
   Schritt 2
   Proportionalitätsfaktor k berechnen

   $k = \frac{600}{10} = 60$

   Der Faktor k = 60 bedeutet, dass man aus einer Orange 60 ml Saft bekommt.

3. 3
   Schritt 3 & 4 · Ergebnis
   Fehlende Werte berechnen

   • 1. Spalte (y fehlt): $y = 60 \cdot 5 = 300$

   • 3. Spalte (x fehlt): $x = \frac{900}{60} = 15$

   • 4. Spalte (y fehlt): $y = 60 \cdot 25 = 1500$

   • 5. Spalte (x fehlt): $x = \frac{3000}{60} = 50$

Ergebnis:

Pro Orange erhält man 60 ml Saft; die ausgefüllte Tabelle zeigt 300, 600, 15, 1500 und 50.

Beispiel 3

Aufgabe

Die Kosten für das Drucken von Flyern sind direkt proportional zur Anzahl der Flyer. Vervollständige die Preistabelle.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Vollständiges Wertepaar finden

   Das vollständige Paar ist x = 500 Flyer und y = 50 €.

2. 2
   Schritt 2
   Proportionalitätsfaktor k berechnen

   $k = \frac{50}{500} = 0{,}10$

   Der Faktor k = 0,10 bedeutet, dass ein Flyer 0,10 € (also 10 Cent) kostet.

3. 3
   Schritt 3 & 4 · Ergebnis
   Fehlende Werte berechnen

   • 1. Spalte (y fehlt): $y = 0{,}10 \cdot 100 = 10$

   • 2. Spalte (x fehlt): $x = \frac{40}{0{,}10} = 400$

   • 4. Spalte (x fehlt): $x = \frac{100}{0{,}10} = 1000$

   • 5. Spalte (y fehlt): $y = 0{,}10 \cdot 2000 = 200$

Ergebnis:

Jeder Flyer kostet 10 Cent; die ausgefüllte Preistabelle zeigt 10 €, 400, 50 €, 1000 und 200 €.

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit. Die zurückgelegte Strecke ist direkt proportional zur Zeit. Vervollständige die Tabelle.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Vollständiges Wertepaar finden

   Das vollständige Paar ist x = 3 Stunden und y = 270 km.

2. 2
   Schritt 2
   Proportionalitätsfaktor k berechnen

   $k = \frac{270}{3} = 90$

   Der Faktor k = 90 ist die Geschwindigkeit des Autos in km/h.

3. 3
   Schritt 3 & 4 · Ergebnis
   Fehlende Werte berechnen

   • 1. Spalte (y fehlt): $y = 90 \cdot 0{,}5 = 45$

   • 2. Spalte (y fehlt): $y = 90 \cdot 1 = 90$

   • 3. Spalte (x fehlt): $x = \frac{180}{90} = 2$

   • 5. Spalte (x fehlt): $x = \frac{450}{90} = 5$

Ergebnis:

Das Auto fährt 90 km/h; die ausgefüllte Tabelle zeigt 45, 90, 2, 270 und 5.

Beispiel 5

Aufgabe

Der Wasserverbrauch eines Gartenschlauchs ist direkt proportional zur Zeit, die er aufgedreht ist. Vervollständige die Tabelle.

Lösung Schritt für Schritt

Fortschritt

3 / 3

1. 1
   Schritt 1
   Vollständiges Wertepaar finden

   Das vollständige Paar ist x = 10 Minuten und y = 120 Liter.

2. 2
   Schritt 2
   Proportionalitätsfaktor k berechnen

   $k = \frac{120}{10} = 12$

   Der Faktor k = 12 bedeutet, dass pro Minute 12 Liter Wasser aus dem Schlauch kommen.

3. 3
   Schritt 3 & 4 · Ergebnis
   Fehlende Werte berechnen

   • 1. Spalte (x fehlt): $x = \frac{24}{12} = 2$

   • 3. Spalte (y fehlt): $y = 12 \cdot 15 = 180$

   • 4. Spalte (x fehlt): $x = \frac{360}{12} = 30$

   • 5. Spalte (y fehlt): $y = 12 \cdot 60 = 720$

Ergebnis:

Der Schlauch gibt 12 Liter pro Minute ab; die ausgefüllte Tabelle zeigt 2, 120, 180, 30 und 720.

Aufgabentyp 2: Direkte Proportionalität im Sachkontext

Viele Alltagsprobleme lassen sich mit direkter Proportionalität lösen. Typische Beispiele sind Einkaufen, Kochen nach Rezept oder das Berechnen von Wegstrecken.

Der Trick besteht darin, zuerst den Grundwert oder die Einheitsrate zu finden. Das ist nichts anderes als der Proportionalitätsfaktor k! Er sagt dir, wie viel eine einzelne Einheit kostet, wiegt oder misst.

• Beim Einkaufen ist k der Preis pro Kilogramm oder Preis pro Stück.
• Beim Fahren ist k die Geschwindigkeit (Kilometer pro Stunde).
• Beim Kochen ist k die Menge einer Zutat pro Person.

Sobald du diesen Grundwert k hast, kannst du ihn verwenden, um beliebige andere Mengen zu berechnen. Achte dabei immer darauf, dass du mit den gleichen Einheiten rechnest (z. B. alles in Kilogramm, nicht Gramm und Kilogramm gemischt).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Größen und Einheiten identifizieren: Lies die Aufgabe genau. Was sind die beiden Größen, die voneinander abhängen? Lege fest, was x und was y ist. Wandle alle Angaben in eine gemeinsame Einheit um.
2. Proportionalitätsfaktor k (Grundwert) berechnen: Nutze die gegebenen Informationen, um den Wert für eine Einheit zu berechnen: k = Gesamtpreis / Gesamtmenge oder k = Strecke / Zeit.
3. Gesuchten Wert berechnen: Setze den neuen Wert in die Formel y = k · x ein, um die gesuchte Größe zu finden.
4. Antwort formulieren: Schreibe einen klaren Antwortsatz, der die Frage aus der Aufgabenstellung beantwortet.

Durchgerechnete Beispiele

Wichtige Erkenntnisse

• Direkte Proportionalität bedeutet: „Je mehr von A, desto mehr von B" – und das in einem festen Verhältnis.
• Der Proportionalitätsfaktor k ist der Schlüssel. Du findest ihn mit der Formel k = y / x.
• Sobald du k hast, kannst du alles berechnen: y = k · x oder x = y / k.
• Im Sachkontext ist k oft der Preis pro Stück/kg oder die Geschwindigkeit pro Stunde.
• Achte immer auf die Einheiten! Wandle sie bei Bedarf um, bevor du rechnest.