Direkt proportionale Funktionen aufstellen – einfach erklärt

Wir wählen den Punkt $\text{P}(2|3)$, da er gut auf dem Gitter ablesbar ist.

Für den Punkt P gilt:

• Der x-Wert ist $x = 2$.
• Der y-Wert ist $y = 3$.

Wir setzen die Werte in die Formel ein:

$k = \frac{y}{x}$

$k = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Wir setzen $k = 1{,}5$ in die allgemeine Form $f(x) = k \cdot x$ ein:

$f(x) = 1{,}5x$

Wir wählen den Punkt $\text{P}(4|1)$.

• Der x-Wert ist $x = 4$.
• Der y-Wert ist $y = 1$.

$k = \frac{y}{x}$

$k = \frac{1}{4} = 0{,}25$

Wir setzen $k = 0{,}25$ in die allgemeine Form ein:

$g(x) = 0{,}25x$

Wir wählen den Punkt $\text{P}(1|5)$.

• Der x-Wert ist $x = 1$.
• Der y-Wert ist $y = 5$.

$k = \frac{y}{x}$

$k = \frac{5}{1} = 5$

Wir setzen $k = 5$ in die allgemeine Form ein:

$h(x) = 5x$

Wir wählen den Punkt $\text{P}(3|-2)$.

• Der x-Wert ist $x = 3$.
• Der y-Wert ist $y = -2$.

$k = \frac{y}{x}$

$k = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$

Wir setzen $k = -\frac{2}{3}$ in die allgemeine Form ein:

$f(x) = -\frac{2}{3}x$

Wir wählen den Punkt $\text{P}(50|20)$. Achte auf die Skalierung der Achsen!

• Der x-Wert ist $x = 50$.
• Der y-Wert ist $y = 20$.

$k = \frac{y}{x}$

$k = \frac{20}{50} = \frac{2}{5} = 0{,}4$

Wir setzen $k = 0{,}4$ in die allgemeine Form ein:

$g(x) = 0{,}4x$

Aus der mittleren Spalte lesen wir das Paar ab: $t = 0{,}75 \text{ h}$ und $f(t) = 17400 \text{ m}$.

$k = \frac{f(t)}{t}$

$k = \frac{17400 \text{ m}}{0{,}75 \text{ h}} = 23200 \frac{\text{m}}{\text{h}}$

Mit $k = 23200$ lautet die Gleichung:

$f(t) = 23200 \cdot t$

• Erste Lücke (y-Wert gesucht): Wir setzen $t = 0{,}25 \text{ h}$ ein: $f(0{,}25) = 23200 \cdot 0{,}25 = 5800 \text{ m}$
• Zweite Lücke (x-Wert gesucht): Wir setzen $f(t) = 29000 \text{ m}$ ein und lösen nach $t$ auf: $29000 = 23200 \cdot t$, also $t = \frac{29000}{23200} = 1{,}25 \text{ h}$

Die ausgefüllte Tabelle:

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Zeit } t \text{ in h} & 0{,}25 & 0{,}75 & 1{,}25 \\ \hline \text{Strecke } f(t) \text{ in m} & 5800 & 17400 & 29000 \\ \hline \end{array}$

Wir nehmen das Paar aus der ersten Spalte: $x = 5$ und $f(x) = 2{,}00 \text{ €}$.

$k = \frac{2{,}00 \text{ €}}{5} = 0{,}40 \frac{\text{€}}{\text{Stück}}$

$f(x) = 0{,}40x$

• Erste Lücke (x-Wert gesucht): $3{,}20 = 0{,}40 \cdot x$, also $x = \frac{3{,}20}{0{,}40} = 8$
• Zweite Lücke (y-Wert gesucht): $f(12) = 0{,}40 \cdot 12 = 4{,}80 \text{ €}$

Die ausgefüllte Tabelle:

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Anzahl } x & 5 & 8 & 12 \\ \hline \text{Preis } f(x) \text{ in €} & 2{,}00 & 3{,}20 & 4{,}80 \\ \hline \end{array}$

Wir nehmen die mittlere Spalte: $t = 60 \text{ min}$ und $V(t) = 1500 \text{ l}$.

$k = \frac{1500 \text{ l}}{60 \text{ min}} = 25 \frac{\text{l}}{\text{min}}$

$V(t) = 25t$

• Erste Lücke (x-Wert gesucht): $500 = 25 \cdot t$, also $t = \frac{500}{25} = 20 \text{ min}$
• Zweite Lücke (y-Wert gesucht): $V(90) = 25 \cdot 90 = 2250 \text{ l}$

Die ausgefüllte Tabelle:

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Zeit } t \text{ in min} & 20 & 60 & 90 \\ \hline \text{Volumen } V(t) \text{ in l} & 500 & 1500 & 2250 \\ \hline \end{array}$

Wir nehmen die letzte Spalte: $x = 60 \text{ s}$ und $f(x) = 300$.

$k = \frac{300}{60 \text{ s}} = 5 \frac{\text{Stück}}{\text{s}}$

$f(x) = 5x$

• Erste Lücke (y-Wert gesucht): $f(10) = 5 \cdot 10 = 50$
• Zweite Lücke (x-Wert gesucht): $150 = 5 \cdot x$, also $x = \frac{150}{5} = 30 \text{ s}$

Die ausgefüllte Tabelle:

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Zeit } x \text{ in s} & 10 & 30 & 60 \\ \hline \text{Anzahl } f(x) & 50 & 150 & 300 \\ \hline \end{array}$

Wir nehmen die erste Spalte: $t = 4 \text{ s}$ und $D(t) = 18 \text{ MB}$.

$k = \frac{18 \text{ MB}}{4 \text{ s}} = 4{,}5 \frac{\text{MB}}{\text{s}}$

$D(t) = 4{,}5t$

• Erste Lücke (y-Wert gesucht): $D(10) = 4{,}5 \cdot 10 = 45 \text{ MB}$
• Zweite Lücke (x-Wert gesucht): $90 = 4{,}5 \cdot t$, also $t = \frac{90}{4{,}5} = 20 \text{ s}$

Die ausgefüllte Tabelle:

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Zeit } t \text{ in s} & 4 & 10 & 20 \\ \hline \text{Datenmenge } D(t) \text{ in MB} & 18 & 45 & 90 \\ \hline \end{array}$

• Unabhängige Variable $x$: Gewicht der Äpfel in $\text{kg}$.
• Abhängige Variable $f(x)$: Saftmenge in $\text{l}$.

Gegeben ist: $1 \text{ kg}$ Äpfel ergeben $750 \text{ ml}$ Saft. Wir müssen die Saftmenge in Liter umrechnen: $750 \text{ ml} = 0{,}75 \text{ l}$. Unser Wertepaar ist also $(1 \text{ kg} | 0{,}75 \text{ l})$.

$k = \frac{0{,}75 \text{ l}}{1 \text{ kg}} = 0{,}75 \frac{\text{l}}{\text{kg}}$

$f(x) = 0{,}75x$

Wir sollen die Saftmenge für $4{,}5 \text{ kg}$ Äpfel berechnen. Wir setzen $x = 4{,}5$ in die Funktion ein:

$f(4{,}5) = 0{,}75 \cdot 4{,}5$

$f(4{,}5) = 3{,}375 \text{ l}$

• Unabhängige Variable $t$: Zeit in Stunden (h).
• Abhängige Variable $s(t)$: Strecke in Kilometern (km).

Die Geschwindigkeit $90 \text{ km/h}$ bedeutet „90 Kilometer pro 1 Stunde". Unser Wertepaar ist also $(1 \text{ h} | 90 \text{ km})$.

$k = \frac{90 \text{ km}}{1 \text{ h}} = 90 \frac{\text{km}}{\text{h}}$

$s(t) = 90t$

Wir setzen $t = 2{,}5$ Stunden ein:

$s(2{,}5) = 90 \cdot 2{,}5$

$s(2{,}5) = 225 \text{ km}$

• Unabhängige Variable $m$: Gesprächsminuten.
• Abhängige Variable $K(m)$: Kosten in Euro (€).

Der Preis ist „0,15 € pro 1 Minute". Unser Wertepaar ist also $(1 \text{ min} | 0{,}15 \text{ €})$.

$k = \frac{0{,}15 \text{ €}}{1 \text{ min}} = 0{,}15 \frac{\text{€}}{\text{min}}$

$K(m) = 0{,}15m$

Wir setzen $m = 22$ Minuten ein:

$K(22) = 0{,}15 \cdot 22$

$K(22) = 3{,}30 \text{ €}$

• Unabhängige Variable $x$: Anzahl der Pfannkuchen.
• Abhängige Variable $f(x)$: Mehlmenge in Gramm (g).

Unser Wertepaar ist $(4 \text{ Pfannkuchen} | 250 \text{ g Mehl})$.

$k = \frac{250 \text{ g}}{4} = 62{,}5 \frac{\text{g}}{\text{Pfannkuchen}}$

$f(x) = 62{,}5x$

Wir setzen $x = 10$ Pfannkuchen ein:

$f(10) = 62{,}5 \cdot 10$

$f(10) = 625 \text{ g}$

• Unabhängige Variable $t$: Zeit in Stunden (h).
• Abhängige Variable $E(t)$: Energie in Kilowattstunden (kWh).

Unser Wertepaar ist $(3 \text{ h} | 12 \text{ kWh})$.

$k = \frac{12 \text{ kWh}}{3 \text{ h}} = 4 \frac{\text{kWh}}{\text{h}}$

$E(t) = 4t$

Wir wollen wissen, wie lange es für $30 \text{ kWh}$ dauert. Wir setzen $E(t) = 30$ ein und lösen nach $t$ auf:

$30 = 4 \cdot t$

$t = \frac{30}{4} = 7{,}5 \text{ h}$