Brüche subtrahieren und analysieren: Fortgeschrittene Rechnungen

Die ganzen Zahlen wurden korrekt subtrahiert ($6-2=4$). Die Brüche $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{6}$ haben jedoch unterschiedliche Nenner. Um sie zu subtrahieren, müssen sie auf den Hauptnenner (6) gebracht werden. In der falschen Rechnung wurde der Bruch der ersten Zahl einfach beibehalten, was falsch ist.

Denkfehler: Die Brüche wurden nicht auf einen gemeinsamen Nenner erweitert, bevor sie subtrahiert wurden.

1. Hauptnenner finden: Der Hauptnenner von 3 und 6 ist 6.
2. Bruch erweitern: Wir erweitern $\frac{1}{3}$ auf Sechstel: $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$.
3. Neu aufschreiben: Die Aufgabe lautet jetzt: $6\frac{2}{6} - 2\frac{1}{6}$.
4. Subtrahieren:
   • Ganze Zahlen: $6 - 2 = 4$
   • Brüche: $\frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$

Die Nenner sind gleich, das ist gut. Aber der erste Bruch, $\frac{1}{4}$, ist kleiner als der zweite Bruch, $\frac{3}{4}$. Man kann $\frac{3}{4}$ nicht von $\frac{1}{4}$ abziehen. In der falschen Rechnung wurde einfach der kleinere Zähler vom größeren abgezogen ($3-1=2$), was falsch ist.

Denkfehler: Es wurde nicht korrekt „geborgt", obwohl der erste Bruch kleiner als der zweite ist. Stattdessen wurden die Zähler in der falschen Reihenfolge subtrahiert.

1. Problem erkennen: $\frac{1}{4}$ ist kleiner als $\frac{3}{4}$. Wir müssen uns von der 5 eine Einheit „leihen".
2. „Borgen": Wir wandeln $5\frac{1}{4}$ um. Wir nehmen 1 von der 5 (übrig bleibt 4) und wandeln die 1 in $\frac{4}{4}$ um. $5\frac{1}{4} = 4 + 1 + \frac{1}{4} = 4 + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 4\frac{5}{4}$.
3. Neu aufschreiben: Die Aufgabe lautet jetzt: $4\frac{5}{4} - 3\frac{3}{4}$.
4. Subtrahieren:
   • Ganze Zahlen: $4 - 3 = 1$
   • Brüche: $\frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4}$

Hier wurden zwei Fehler kombiniert. Erstens wurden die Brüche nicht auf einen gemeinsamen Nenner gebracht. Zweitens scheint es, als wären die Zähler ($2-1=1$) und die Nenner ($5-2=3$) einfach voneinander abgezogen worden. Das ist eine sehr häufige, aber komplett falsche Methode.

Denkfehler: Die Brüche wurden nicht auf einen Hauptnenner erweitert. Stattdessen wurden Zähler von Zähler und Nenner von Nenner subtrahiert.

1. Hauptnenner finden: Der Hauptnenner von 5 und 2 ist 10.
2. Brüche erweitern:
   • $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10}$
   • $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$
3. Neu aufschreiben: Die Aufgabe lautet: $8\frac{4}{10} - 1\frac{5}{10}$.
4. Problem erkennen und „borgen": $\frac{4}{10}$ ist kleiner als $\frac{5}{10}$. Wir borgen von der 8. $8\frac{4}{10} = 7 + 1 + \frac{4}{10} = 7 + \frac{10}{10} + \frac{4}{10} = 7\frac{14}{10}$.
5. Subtrahieren: Die Aufgabe ist jetzt $7\frac{14}{10} - 1\frac{5}{10}$.
   • Ganze Zahlen: $7 - 1 = 6$
   • Brüche: $\frac{14}{10} - \frac{5}{10} = \frac{9}{10}$

Die Nenner sind identisch. Der erste Bruch $\frac{3}{8}$ ist jedoch kleiner als der zweite Bruch $\frac{7}{8}$. In der fehlerhaften Rechnung wurden die ganzen Zahlen korrekt subtrahiert ($10-4=6$), aber bei den Brüchen wurde der kleinere Zähler vom größeren abgezogen ($7-3=4$), was falsch ist.

Denkfehler: Es wurde nicht korrekt „geborgt". Die Zähler wurden in der falschen Reihenfolge subtrahiert, um ein negatives Ergebnis zu vermeiden.

1. Problem erkennen: $\frac{3}{8}$ ist kleiner als $\frac{7}{8}$. Wir müssen von der 10 „borgen".
2. „Borgen": Wir wandeln $10\frac{3}{8}$ um. $10\frac{3}{8} = 9 + 1 + \frac{3}{8} = 9 + \frac{8}{8} + \frac{3}{8} = 9\frac{11}{8}$.
3. Neu aufschreiben: Die Aufgabe lautet jetzt: $9\frac{11}{8} - 4\frac{7}{8}$.
4. Subtrahieren:
   • Ganze Zahlen: $9 - 4 = 5$
   • Brüche: $\frac{11}{8} - \frac{7}{8} = \frac{4}{8}$

Die Nenner sind gleich. Der erste Bruch $\frac{1}{5}$ ist kleiner als der zweite Bruch $\frac{3}{5}$. In der falschen Rechnung wurden die ganzen Zahlen subtrahiert ($7-2=5$), aber die Subtraktion der Brüche wurde falsch gehandhabt. Es scheint, als hätte man $3-1=2$ gerechnet und das Ergebnis einfach übernommen.

Denkfehler: Das „Borgen" wurde vergessen. Die Zähler wurden in der falschen Reihenfolge subtrahiert.

1. Problem erkennen: $\frac{1}{5}$ ist kleiner als $\frac{3}{5}$. Wir müssen von der 7 „borgen".
2. „Borgen": Wir wandeln $7\frac{1}{5}$ um. $7\frac{1}{5} = 6 + 1 + \frac{1}{5} = 6 + \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = 6\frac{6}{5}$.
3. Neu aufschreiben: Die Aufgabe lautet jetzt: $6\frac{6}{5} - 2\frac{3}{5}$.
4. Subtrahieren:
   • Ganze Zahlen: $6 - 2 = 4$
   • Brüche: $\frac{6}{5} - \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$

Es ist eine reine Additionsaufgabe. Wir sehen einen Rechenvorteil: $5\frac{1}{8}$ und $1\frac{7}{8}$ haben den gleichen Nenner.

Wir vertauschen die Zahlen und addieren die beiden Brüche mit dem Nenner 8 zuerst:

$(5\frac{1}{8} + 1\frac{7}{8}) + 3\frac{1}{4}$

• Ganze Zahlen: $5 + 1 = 6$
• Brüche: $\frac{1}{8} + \frac{7}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Das Zwischenergebnis ist $6 + 1 = 7$.

Die Aufgabe vereinfacht sich zu:

$7 + 3\frac{1}{4}$

$7 + 3\frac{1}{4} = 10\frac{1}{4}$

Der Bruch $\frac{1}{4}$ ist bereits vollständig gekürzt.

Es gibt keine Klammern und keine Rechenvorteile (wegen der Subtraktion dürfen wir nicht einfach vertauschen). Wir rechnen von links nach rechts.

Wir berechnen zuerst $10\frac{1}{2} - 4\frac{2}{3}$.

• Hauptnenner von 2 und 3 ist 6.
• Erweitern: $10\frac{1}{2} = 10\frac{3}{6}$ und $4\frac{2}{3} = 4\frac{4}{6}$.
• Rechnung: $10\frac{3}{6} - 4\frac{4}{6}$.
• Borgen: $\frac{3}{6}$ ist kleiner als $\frac{4}{6}$. Wir borgen von der 10. $10\frac{3}{6} = 9 + \frac{6}{6} + \frac{3}{6} = 9\frac{9}{6}$.
• Subtrahieren: $9\frac{9}{6} - 4\frac{4}{6} = 5\frac{5}{6}$.

Die Aufgabe lautet jetzt: $5\frac{5}{6} + 1\frac{1}{6}$.

• Die Nenner sind bereits gleich.
• Addieren:
  • Ganze Zahlen: $5 + 1 = 6$
  • Brüche: $\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
• Zusammenfügen: $6 + 1 = 7$.

Das Ergebnis ist eine ganze Zahl, also ist nichts zu kürzen.

Wir berechnen zuerst den Inhalt der Klammer: $4\frac{1}{2} - 1\frac{1}{5}$.

• Hauptnenner von 2 und 5 ist 10.
• Erweitern: $4\frac{1}{2} = 4\frac{5}{10}$ und $1\frac{1}{5} = 1\frac{2}{10}$.
• Subtrahieren: $4\frac{5}{10} - 1\frac{2}{10} = 3\frac{3}{10}$.

Die Aufgabe lautet jetzt: $9\frac{1}{3} - 3\frac{3}{10}$.

• Hauptnenner von 3 und 10 ist 30.
• Erweitern: $9\frac{1}{3} = 9\frac{10}{30}$ und $3\frac{3}{10} = 3\frac{9}{30}$.
• Subtrahieren: $9\frac{10}{30} - 3\frac{9}{30} = 6\frac{1}{30}$.

Der Bruch $\frac{1}{30}$ kann nicht gekürzt werden.

Wir berechnen $(7\frac{1}{4} + 2\frac{1}{6})$.

• Hauptnenner von 4 und 6 ist 12.
• Erweitern: $7\frac{1}{4} = 7\frac{3}{12}$ und $2\frac{1}{6} = 2\frac{2}{12}$.
• Addieren: $7\frac{3}{12} + 2\frac{2}{12} = 9\frac{5}{12}$.

Wir berechnen $(5\frac{2}{3} - 1\frac{1}{2})$.

• Hauptnenner von 3 und 2 ist 6.
• Erweitern: $5\frac{2}{3} = 5\frac{4}{6}$ und $1\frac{1}{2} = 1\frac{3}{6}$.
• Subtrahieren: $5\frac{4}{6} - 1\frac{3}{6} = 4\frac{1}{6}$.

Die Aufgabe lautet jetzt: $9\frac{5}{12} - 4\frac{1}{6}$.

• Hauptnenner von 12 und 6 ist 12.
• Erweitern: $4\frac{1}{6} = 4\frac{2}{12}$.
• Subtrahieren: $9\frac{5}{12} - 4\frac{2}{12} = 5\frac{3}{12}$.

Wir kürzen $\frac{3}{12}$ durch 3: $\frac{3:3}{12:3} = \frac{1}{4}$.

Keine Klammern, keine Rechenvorteile. Wir rechnen von links nach rechts.

Wir berechnen $12 - 3\frac{1}{5}$.

• Wir müssen von der ganzen Zahl 12 „borgen", um einen Bruch zu haben.
• Umwandeln: $12 = 11 + 1 = 11 + \frac{5}{5} = 11\frac{5}{5}$.
• Subtrahieren: $11\frac{5}{5} - 3\frac{1}{5} = 8\frac{4}{5}$.

Die Aufgabe lautet jetzt: $8\frac{4}{5} + 2\frac{1}{2}$.

• Hauptnenner von 5 und 2 ist 10.
• Erweitern: $8\frac{4}{5} = 8\frac{8}{10}$ und $2\frac{1}{2} = 2\frac{5}{10}$.
• Addieren: $8\frac{8}{10} + 2\frac{5}{10} = 10\frac{13}{10}$.

Das Ergebnis $10\frac{13}{10}$ enthält einen unechten Bruch.

• Umwandeln: $\frac{13}{10} = 1\frac{3}{10}$.
• Zusammenfügen: $10 + 1\frac{3}{10} = 11\frac{3}{10}$. Der Bruch ist bereits gekürzt.

• $\triangle$ und $\square$ sind natürliche Zahlen.
• Regel 1: $\triangle < 4 \to \triangle$ kann 1, 2 oder 3 sein.
• Regel 2: $\square < \triangle$.

Wir ziehen die ganzen Zahlen ab: $1+2=3$. Die Summe der Brüche muss $4\frac{5}{12} - 3 = 1\frac{5}{12}$ sein.

$\frac{\triangle}{4} + \frac{\square}{\triangle} = 1\frac{5}{12} = \frac{17}{12}$

• Fall 1: $\triangle = 1$: $\square$ müsste $<1$ sein. Geht nicht.
• Fall 2: $\triangle = 2$: $\square$ müsste $1$ sein. Test: $\frac{2}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$. Das ist nicht $\frac{17}{12}$. Falsch.
• Fall 3: $\triangle = 3$: $\square$ könnte 1 oder 2 sein. Wir setzen $\triangle=3$ ein: $\frac{3}{4} + \frac{\square}{3} = \frac{17}{12}$. Umstellen: $\frac{\square}{3} = \frac{17}{12} - \frac{3}{4} = \frac{17}{12} - \frac{9}{12} = \frac{8}{12}$. Also $\frac{\square}{3} = \frac{8}{12}$. Wir kürzen $\frac{8}{12}$ zu $\frac{2}{3}$. $\frac{\square}{3} = \frac{2}{3} \to \square=2$.

Die Lösung ist $\triangle=3$ und $\square=2$. Erfüllt sie die Regeln? Ja, $\square=2$ ist eine natürliche Zahl und $2 < 3$ ($\square < \triangle$). Perfekt.

$1\frac{3}{4} + 2\frac{2}{3} = 1\frac{9}{12} + 2\frac{8}{12} = 3\frac{17}{12} = 3 + 1\frac{5}{12} = 4\frac{5}{12}$. Stimmt.

• $\triangle, \square$ sind natürliche Zahlen.
• Regel 1: $\triangle < 6 \to \triangle \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
• Regel 2: $\square < \triangle$.

Wir isolieren die Brüche. $5 - 2 = 3$. Die linke Seite ist $3 + \frac{\triangle}{6} - \frac{\square}{\triangle}$. $3 + \frac{\triangle}{6} - \frac{\square}{\triangle} = 2\frac{5}{6}$. Wir bringen die 3 auf die andere Seite: $\frac{\triangle}{6} - \frac{\square}{\triangle} = 2\frac{5}{6} - 3 = -\frac{1}{6}$. Das bedeutet, beim Subtrahieren der Brüche musste „geborgt" werden!

Das heißt: $\frac{\triangle}{6}$ muss kleiner sein als $\frac{\square}{\triangle}$. Wir borgen von der 5: $4 + 1 + \frac{\triangle}{6} = 4 + \frac{6+\triangle}{6}$. Die Rechnung ist also: $(4-2) + (\frac{6+\triangle}{6} - \frac{\square}{\triangle}) = 2\frac{5}{6}$. Das bedeutet: $\frac{6+\triangle}{6} - \frac{\square}{\triangle} = \frac{5}{6}$.

• Fall $\triangle=5$: Bedingung $\frac{5}{6} < \frac{\square}{5}$ ergibt $\square > 4.16$. Das widerspricht $\square < 5$. Falsch.
• Fall $\triangle=4$: Bedingung: $\frac{4}{6} < \frac{\square}{4} \to 16 < 6\square \to \square > 2.66$. Also muss $\square=3$ sein. Testen: $\frac{6+4}{6} - \frac{3}{4} = \frac{10}{6} - \frac{3}{4} = \frac{5}{3} - \frac{3}{4} = \frac{20}{12} - \frac{9}{12} = \frac{11}{12}$. Das ist nicht $\frac{5}{6}$. Falsch.
• Fall $\triangle=3$: Bedingung: $\frac{3}{6} < \frac{\square}{3} \to 9 < 6\square \to \square > 1.5$. Also muss $\square=2$ sein. Testen: $\frac{6+3}{6} - \frac{2}{3} = \frac{9}{6} - \frac{2}{3} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$. Das ist korrekt!

Lösung: $\triangle=3, \square=2$. Regeln: $3<6$ (ok), $2<3$ (ok). Probe: $5\frac{3}{6} - 2\frac{2}{3} = 5\frac{1}{2} - 2\frac{2}{3} = 5\frac{3}{6} - 2\frac{4}{6} = 4\frac{9}{6} - 2\frac{4}{6} = 2\frac{5}{6}$. Stimmt.

• $\triangle, \square$ sind natürliche Zahlen.
• Regel 1: $1 < \triangle$.
• Regel 2: $1 < \square$.

Wir ziehen die ganzen Zahlen ab: $1+1=2$. Die Summe der Brüche muss $2\frac{1}{6} - 2 = \frac{1}{6}$ sein.

$\frac{1}{\triangle} + \frac{1}{\square} = \frac{1}{6}$

Wir suchen zwei Stammbrüche (Brüche mit Zähler 1), deren Summe $\frac{1}{6}$ ist. Wir können die Gleichung umstellen: $\frac{1}{\square} = \frac{1}{6} - \frac{1}{\triangle} = \frac{\triangle - 6}{6\triangle}$.

Jetzt testen wir Werte für $\triangle$, die größer als 6 sind.

• Fall $\triangle = 7$: $\frac{1}{\square} = \frac{7-6}{6 \cdot 7} = \frac{1}{42}$. Also $\square=42$. Das ist eine gültige Lösung.
• Fall $\triangle = 8$: $\frac{1}{\square} = \frac{8-6}{6 \cdot 8} = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$. Also $\square=24$. Gültig.
• Fall $\triangle = 9$: $\frac{1}{\square} = \frac{9-6}{6 \cdot 9} = \frac{3}{54} = \frac{1}{18}$. Also $\square=18$. Gültig.
• Fall $\triangle = 12$: $\frac{1}{\square} = \frac{12-6}{6 \cdot 12} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$. Also $\square=12$. Gültig.

Es gibt mehrere Lösungen. Wir nehmen die erste, die wir gefunden haben.

Lösung: $\triangle=7, \square=42$. Regeln: $1<7$ (ok), $1<42$ (ok). Probe: $1\frac{1}{7} + 1\frac{1}{42} = 1\frac{6}{42} + 1\frac{1}{42} = 2\frac{7}{42} = 2\frac{1}{6}$. Stimmt.

• $\triangle, \square$ sind natürliche Zahlen.
• Regel 1: $1 < \square$.

Wir können die Gleichung umstellen, um die Terme mit den Platzhaltern zu isolieren.

$\triangle + \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{\square} = 5 + \frac{3}{4}$

Wir subtrahieren $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten:

$\triangle + 2 + \frac{1}{\square} = 5 + \frac{2}{4} = 5 + \frac{1}{2}$

Jetzt subtrahieren wir 2 auf beiden Seiten:

$\triangle + \frac{1}{\square} = 3 + \frac{1}{2} = 3\frac{1}{2}$

Die Gleichung lautet $\triangle + \frac{1}{\square} = 3\frac{1}{2}$.

Da $\triangle$ eine ganze Zahl ist und $\frac{1}{\square}$ ein echter Bruch (also kleiner als 1), können wir die Teile direkt zuordnen.

• Die ganze Zahl auf der linken Seite ($\triangle$) muss der ganzen Zahl auf der rechten Seite (3) entsprechen.
• Der Bruch auf der linken Seite ($\frac{1}{\square}$) muss dem Bruch auf der rechten Seite ($\frac{1}{2}$) entsprechen.

Also: $\triangle = 3$ und $\frac{1}{\square} = \frac{1}{2}$.

Daraus folgt direkt: $\square = 2$.

Lösung: $\triangle=3, \square=2$. Regeln: $\triangle=3$ ist natürliche Zahl (ok), $1<2$ (ok). Probe: $3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{2} = 3\frac{1}{4} + 2\frac{2}{4} = 5\frac{3}{4}$. Stimmt.

• $\triangle, \square$ sind natürliche Zahlen.
• Regel 1: $\triangle < 10$.
• Regel 2: $\square < 5$.

Die ganzen Zahlen passen: $4-1=3$. Das bedeutet, es war kein „Borgen" nötig. Die Subtraktion der Brüche muss also direkt funktionieren.

$\frac{\triangle}{10} - \frac{\square}{5} = \frac{1}{10}$

Um die Brüche zu subtrahieren, bringen wir sie auf den Hauptnenner 10.

$\frac{\triangle}{10} - \frac{\square \cdot 2}{10} = \frac{1}{10}$

Die Nenner sind jetzt gleich, also können wir die Zähler betrachten:

$\triangle - 2 \cdot \square = 1$

Wir suchen zwei natürliche Zahlen $\triangle$ und $\square$, die diese Gleichung und die Regeln erfüllen. Regeln: $\triangle \in \{1,...,9\}$ und $\square \in \{1,2,3,4\}$.

Wir stellen die Gleichung nach $\triangle$ um: $\triangle = 1 + 2\square$. Jetzt setzen wir die möglichen Werte für $\square$ ein.

• Fall $\square = 1$: $\triangle = 1 + 2 \cdot 1 = 3$. Prüfen der Regeln: $\triangle=3$ ist $<10$ (ok). $\square=1$ ist $<5$ (ok). Das ist eine gültige Lösung.
• Fall $\square = 2$: $\triangle = 1 + 2 \cdot 2 = 5$. Prüfen der Regeln: $\triangle=5$ ist $<10$ (ok). $\square=2$ ist $<5$ (ok). Auch eine gültige Lösung.
• Fall $\square = 3$: $\triangle = 1 + 2 \cdot 3 = 7$. Prüfen der Regeln: $\triangle=7$ ist $<10$ (ok). $\square=3$ ist $<5$ (ok). Auch gültig.
• Fall $\square = 4$: $\triangle = 1 + 2 \cdot 4 = 9$. Prüfen der Regeln: $\triangle=9$ ist $<10$ (ok). $\square=4$ ist $<5$ (ok). Auch gültig.

Es gibt mehrere richtige Lösungen. Wir können eine davon angeben.

Lösung: $\triangle=3, \square=1$. Probe: $4\frac{3}{10} - 1\frac{1}{5} = 4\frac{3}{10} - 1\frac{2}{10} = 3\frac{1}{10}$. Stimmt.