Was ist die Regel beim Multiplizieren von Brüchen mit ganzen Zahlen?

Die Grundregel ist einfach: Du multiplizierst die ganze Zahl nur mit dem Zähler des Bruchs. Der Nenner bleibt unverändert . Die Formel lautet: Ganze Zahl · Zähler / Nenner . Aus 4 · 3/5 wird also (4 · 3) / 5 = 12/5 . Falls nötig, kannst du das Ergebnis danach noch in eine gemischte Zahl umwandeln.

Wie multiplizierst du eine ganze Zahl mit einer gemischten Zahl?

Wandle die gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch um. Die Formel lautet: (Ganze Zahl · Nenner) + Zähler = neuer Zähler . Aus 2⅓ wird so 7/3 . Danach multiplizierst du wie gewohnt: ganze Zahl mal Zähler, Nenner bleibt gleich. Zuletzt wandelst du das Ergebnis – wenn nötig – zurück in eine gemischte Zahl.

Warum solltest du beim Bruch-Multiplizieren zuerst kürzen?

Wenn du vor dem Ausrechnen nach gemeinsamen Teilern von ganzer Zahl und Nenner suchst und diese herauskürzst, werden die Zahlen kleiner. Das macht die Multiplikation einfacher und du musst danach weniger kürzen. Beim Beispiel 18 · 5/24 kannst du 18 und 24 durch 6 teilen – statt mit großen Zahlen rechnest du dann nur noch 3 · 5 / 4 = 15/4 .

Wie erkennst du in einer Textaufgabe, dass du multiplizieren musst?

Achte auf Signalwörter wie mal , pro , von oder je . Sie zeigen dir, dass zwei Größen miteinander multipliziert werden sollen. Zum Beispiel bedeutet „7 Kisten mit je 1/2 kg Inhalt" die Aufgabe 7 · 1/2 . Schreibe danach immer einen vollständigen Antwortsatz mit der richtigen Einheit (kg, €, m usw.).

Was ist der Unterschied zwischen einem unechten Bruch und einer gemischten Zahl?

Ein unechter Bruch hat einen Zähler, der größer als der Nenner ist – zum Beispiel 9/4 . Eine gemischte Zahl schreibt dasselbe als ganze Zahl plus echten Bruch: 2¼ . Beide Schreibweisen sind gleichwertig. Beim Multiplizieren ist der unechte Bruch praktischer, weil du direkt damit rechnen kannst. Am Ende einer Aufgabe wird oft die gemischte Zahl als Antwort erwartet.

Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren

Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren begegnet dir überall im Alltag – ob beim Kochen, beim Basteln oder beim Ausrechnen von Datenvolumen. Stell dir vor, du findest ein super Rezept für einen Schokokuchen, aber es ist nur für eine Person. Du willst aber genug für die ganze Familie backen, also für 6 Leute. Im Rezept steht „ $\frac{3}{4}$ Tasse Zucker". Musst du jetzt sechsmal $\frac{3}{4}$ Tasse abmessen? Viel zu umständlich! Genau hier kommt die Bruchrechnung ins Spiel. Wenn du weißt, wie man eine ganze Zahl (6) mit einem Bruch ( $\frac{3}{4}$ ) multipliziert, kannst du die genaue Menge in einem Schritt ausrechnen. Lass uns diesen Trick lernen!

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Was ist ein Bruch? Ein Bruch besteht aus einem Zähler (oben) und einem Nenner (unten). Der Nenner sagt dir, in wie viele gleiche Teile ein Ganzes geteilt wird, und der Zähler sagt dir, wie viele dieser Teile du hast.
- Beispiel: Bei $\frac{3}{4}$ wurde eine Pizza in 4 Stücke geschnitten und du hast 3 davon.
Was ist eine gemischte Zahl? Das ist eine Kombination aus einer ganzen Zahl und einem Bruch.
- Beispiel: $2\frac{1}{2}$ Pizzen bedeutet, du hast 2 ganze Pizzen und eine halbe Pizza.
Gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln: Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler größer als der Nenner ist.
- Formel: $(\text{Ganze Zahl} \cdot \text{Nenner}) + \text{Zähler} = \text{neuer Zähler}$
- Beispiel: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$
Brüche kürzen: Du teilst den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl, um den Bruch zu vereinfachen.
- Beispiel: Bei $\frac{6}{8}$ kannst du Zähler und Nenner durch 2 teilen. Das Ergebnis ist $\frac{3}{4}$ .

Aufgabentyp 1: Ganze Zahl mit einem Bruch multiplizieren

Die Grundregel beim Bruch mal ganze Zahl berechnen ist super einfach: Wenn du eine ganze Zahl mit einem Bruch multiplizierst, rechnest du die ganze Zahl mal den Zähler. Der Nenner bleibt einfach gleich.

Formel:

$\text{Ganze Zahl} \cdot \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \frac{\text{Ganze Zahl} \cdot \text{Zähler}}{\text{Nenner}}$

Der Profi-Tipp: Kürze, bevor du ausmultiplizierst! Das macht die Zahlen kleiner und die Rechnung viel einfacher. Suche nach einem gemeinsamen Teiler für die ganze Zahl und den Nenner.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schreibe die Multiplikation als einen einzigen Bruch, indem du die ganze Zahl in den Zähler ziehst.
Kürze (der schlaue Schritt): Prüfe, ob du die ganze Zahl und den Nenner durch dieselbe Zahl teilen kannst. Wenn ja, tu es!
Rechne aus: Multipliziere die Zahlen im Zähler. Der Nenner bleibt, wie er ist (oder ist nach dem Kürzen 1).
Prüfe das Ergebnis: Kannst du es noch weiter kürzen? Oder ist es ein unechter Bruch, den du in eine gemischte Zahl umwandeln sollst?

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne $4 \cdot \frac{3}{5}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Als einen Bruch schreiben
Wir multiplizieren die ganze Zahl $4$ mit dem Zähler $3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{5}$
Schritt 2
Kürzen
Wir prüfen, ob die ganze Zahl (4) und der Nenner (5) einen gemeinsamen Teiler haben. Nein, haben sie nicht. Wir können also nicht kürzen.
Schritt 3
Ausrechnen
Wir multiplizieren den Zähler aus.

$\frac{12}{5}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis prüfen
Der Bruch $\frac{12}{5}$ ist vollständig gekürzt. Wir können ihn als gemischte Zahl schreiben: $12 \div 5 = 2$ Rest $2$ . Das Ergebnis ist also $2\frac{2}{5}$ .

Ergebnis:

$4 \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{5}$ oder $2\frac{2}{5}$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne $18 \cdot \frac{5}{24}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Als einen Bruch schreiben
$\frac{18 \cdot 5}{24}$
Schritt 2
Kürzen (Der schlaue Schritt)
Wir sehen, dass die ganze Zahl $18$ und der Nenner $24$ beide durch 6 teilbar sind.

$18 \div 6 = 3$

$24 \div 6 = 4$

Wir ersetzen die Zahlen durch die gekürzten Werte:

$\frac{3 \cdot 5}{4}$
Schritt 3
Ausrechnen
Jetzt multiplizieren wir den Zähler aus.

$\frac{15}{4}$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis prüfen
Der Bruch ist vollständig gekürzt. Als gemischte Zahl ist das $3\frac{3}{4}$ .

Ergebnis:

$18 \cdot \frac{5}{24} = \frac{15}{4}$ oder $3\frac{3}{4}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne $\frac{7}{9} \cdot 27$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Als einen Bruch schreiben
$\frac{7 \cdot 27}{9}$
Schritt 2
Kürzen
Die ganze Zahl $27$ und der Nenner $9$ sind beide durch 9 teilbar.

$27 \div 9 = 3$

$9 \div 9 = 1$

Das vereinfacht den Bruch zu:

$\frac{7 \cdot 3}{1}$
Schritt 3
Ausrechnen
$\frac{21}{1} = 21$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis prüfen
Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.

Ergebnis:

$\frac{7}{9} \cdot 27 = 21$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Sportler trinkt beim Training pro Stunde $\frac{2}{3}$ Liter Wasser. Wie viel Wasser trinkt er bei einem 3-stündigen Training?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Als einen Bruch schreiben
$3 \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{3}$
Schritt 2
Kürzen
Die ganze Zahl $3$ und der Nenner $3$ sind identisch, also können wir beide durch 3 teilen.

$\frac{1 \cdot 2}{1}$
Schritt 3
Ausrechnen
$\frac{2}{1} = 2$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis prüfen
Das Ergebnis ist 2.

Ergebnis:

Der Sportler trinkt 2 Liter Wasser.

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne $15 \cdot \frac{4}{5}$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Als einen Bruch schreiben
$\frac{15 \cdot 4}{5}$
Schritt 2
Kürzen
Die ganze Zahl $15$ und der Nenner $5$ sind beide durch 5 teilbar.

$15 \div 5 = 3$

$5 \div 5 = 1$

Wir erhalten:

$\frac{3 \cdot 4}{1}$
Schritt 3
Ausrechnen
$\frac{12}{1} = 12$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis prüfen
Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.

Ergebnis:

$15 \cdot \frac{4}{5} = 12$ .

Aufgabentyp 2: Ganze Zahl mit einer gemischten Zahl multiplizieren

Wenn du eine ganze Zahl mit einer gemischten Zahl multiplizieren möchtest, gibt es einen ganz wichtigen ersten Schritt: Du musst die gemischte Zahl zuerst in einen unechten Bruch umwandeln. Danach ist alles genau so, wie du es schon gelernt hast.

Beispiel für die Umwandlung:

$3\frac{1}{4} \to \frac{(3 \cdot 4) + 1}{4} = \frac{12+1}{4} = \frac{13}{4}$

Sobald du den unechten Bruch hast, multiplizierst du ihn mit der ganzen Zahl.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gemischte Zahl umwandeln: Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um. Formel: (Ganze Zahl $\cdot$ Nenner) + Zähler.
Multiplizieren wie gewohnt: Folge nun den Schritten aus dem ersten Schema: Als einen Bruch schreiben, kürzen und ausrechnen.
Ergebnis zurückwandeln (falls nötig): Wenn das Ergebnis ein unechter Bruch ist, wird oft verlangt, ihn wieder in eine gemischte Zahl umzuwandeln. Teile dafür den Zähler durch den Nenner. Die ganze Zahl ist das Ergebnis, der Rest ist der neue Zähler.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne $6 \cdot 2\frac{1}{3}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gemischte Zahl umwandeln
Wir wandeln $2\frac{1}{3}$ in einen unechten Bruch um.

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
Schritt 2
Multiplizieren wie gewohnt
Jetzt rechnen wir $6 \cdot \frac{7}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 7}{3}$

Wir kürzen die $6$ und die $3$ mit 3.

$\frac{2 \cdot 7}{1} = 14$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zurückwandeln
Das Ergebnis ist eine ganze Zahl, also ist keine Rückwandlung nötig.

Ergebnis:

$6 \cdot 2\frac{1}{3} = 14$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne $4 \cdot 3\frac{3}{8}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gemischte Zahl umwandeln
Wir wandeln $3\frac{3}{8}$ in einen unechten Bruch um.

$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}$
Schritt 2
Multiplizieren wie gewohnt
Jetzt rechnen wir $4 \cdot \frac{27}{8}$ .

$\frac{4 \cdot 27}{8}$

Wir kürzen die $4$ und die $8$ mit 4.

$\frac{1 \cdot 27}{2} = \frac{27}{2}$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zurückwandeln
Wir wandeln den unechten Bruch $\frac{27}{2}$ zurück in eine gemischte Zahl.

$27 \div 2 = 13$ Rest $1$ . Das Ergebnis ist $13\frac{1}{2}$ .

Ergebnis:

$4 \cdot 3\frac{3}{8} = 13\frac{1}{2}$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne $5 \cdot 1\frac{2}{5}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gemischte Zahl umwandeln
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$
Schritt 2
Multiplizieren wie gewohnt
Jetzt rechnen wir $5 \cdot \frac{7}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{5}$

Wir kürzen die $5$ im Zähler und die $5$ im Nenner.

$\frac{1 \cdot 7}{1} = 7$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zurückwandeln
Das Ergebnis ist eine ganze Zahl.

Ergebnis:

$5 \cdot 1\frac{2}{5} = 7$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Ein Brett ist $2\frac{1}{4}$ Meter lang. Du benötigst 3 solcher Bretter. Wie viele Meter Holz sind das insgesamt?

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gemischte Zahl umwandeln
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Schritt 2
Multiplizieren wie gewohnt
Jetzt rechnen wir $3 \cdot \frac{9}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{4} = \frac{27}{4}$

Wir können hier nicht kürzen.
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zurückwandeln
Wir wandeln $\frac{27}{4}$ in eine gemischte Zahl um.

$27 \div 4 = 6$ Rest $3$ . Das Ergebnis ist $6\frac{3}{4}$ .

Ergebnis:

Das sind insgesamt $6\frac{3}{4}$ Meter Holz.

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne $10 \cdot 4\frac{2}{15}$ .

Fortschritt

3 / 3

Schritt 1
Gemischte Zahl umwandeln
$4\frac{2}{15} = \frac{4 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{60 + 2}{15} = \frac{62}{15}$
Schritt 2
Multiplizieren wie gewohnt
Jetzt rechnen wir $10 \cdot \frac{62}{15}$ .

$\frac{10 \cdot 62}{15}$

Wir kürzen die $10$ und die $15$ mit 5.

$\frac{2 \cdot 62}{3} = \frac{124}{3}$
Schritt 3 · Ergebnis
Ergebnis zurückwandeln
Wir wandeln $\frac{124}{3}$ in eine gemischte Zahl um.

$124 \div 3 = 41$ Rest $1$ . Das Ergebnis ist $41\frac{1}{3}$ .

Ergebnis:

$10 \cdot 4\frac{2}{15} = 41\frac{1}{3}$ .

Aufgabentyp 3: Anwendung in Textaufgaben

In Textaufgaben (auch Sachaufgaben genannt) ist die größte Herausforderung, die Mathe-Aufgabe im Text zu finden. Oft verraten dir Signalwörter wie „mal", „von" oder „pro", dass du multiplizieren musst.

Lies die Aufgabe immer ganz genau durch. Was sind die gegebenen Zahlen? Was ist die eigentliche Frage? Wenn du das weißt, ist die Rechnung oft ganz einfach.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Verstehen und Informationen sammeln: Lies die Aufgabe sorgfältig. Markiere die Zahlen (ganze Zahl, Bruch oder gemischte Zahl) und unterstreiche die Frage.
Rechnung aufstellen: Übersetze den Text in eine mathematische Aufgabe. Zum Beispiel: „7 Kisten mit je $\frac{1}{2}$ kg Inhalt" wird zu $7 \cdot \frac{1}{2}$ .
Lösen: Berechne das Ergebnis mit den Methoden, die du gelernt hast (ggf. umwandeln, kürzen, ausrechnen).
Antwortsatz formulieren: Schreibe eine klare Antwort, die sich auf die ursprüngliche Frage bezieht und die richtige Einheit (z. B. kg, €, m) enthält.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Für einen Pfannkuchen braucht man $\frac{1}{8}$ Liter Milch. Wie viel Milch wird für 12 Pfannkuchen benötigt?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Verstehen und Informationen sammeln
- Gegeben: $\frac{1}{8}$ Liter Milch pro Pfannkuchen, 12 Pfannkuchen.
- Gefragt: Gesamtmenge an Milch.
Schritt 2
Rechnung aufstellen
$12 \cdot \frac{1}{8}$
Schritt 3
Lösen
$\frac{12 \cdot 1}{8} = \frac{12}{8}$

Wir kürzen den Bruch mit 4.

$\frac{12 \div 4}{8 \div 4} = \frac{3}{2}$

Als gemischte Zahl ist das $1\frac{1}{2}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Antwortsatz formulieren
Für 12 Pfannkuchen werden $1\frac{1}{2}$ Liter Milch benötigt.

Ergebnis:

Für 12 Pfannkuchen werden $1\frac{1}{2}$ Liter Milch benötigt.

Beispiel 2

Aufgabe

Eine Schnecke kriecht pro Minute $2\frac{1}{2}$ cm. Welche Strecke legt sie in 5 Minuten zurück?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Verstehen und Informationen sammeln
- Gegeben: $2\frac{1}{2}$ cm pro Minute, 5 Minuten.
- Gefragt: Gesamtstrecke.
Schritt 2
Rechnung aufstellen
$5 \cdot 2\frac{1}{2}$
Schritt 3
Lösen
Wir wandeln die gemischte Zahl um: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ .

$5 \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{2}$

Wir wandeln zurück in eine gemischte Zahl: $25 \div 2 = 12$ Rest $1$ . Das ist $12\frac{1}{2}$ .
Schritt 4 · Ergebnis
Antwortsatz formulieren
Die Schnecke legt in 5 Minuten eine Strecke von $12\frac{1}{2}$ cm zurück.

Ergebnis:

Die Schnecke legt in 5 Minuten $12\frac{1}{2}$ cm zurück.

Beispiel 3

Aufgabe

Ein Gärtner hat 20 Säcke Blumenerde. Jeder Sack wiegt $\frac{3}{4}$ kg. Wie viel wiegt die Blumenerde insgesamt?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Verstehen und Informationen sammeln
- Gegeben: 20 Säcke, $\frac{3}{4}$ kg pro Sack.
- Gefragt: Gesamtgewicht.
Schritt 2
Rechnung aufstellen
$20 \cdot \frac{3}{4}$
Schritt 3
Lösen
$\frac{20 \cdot 3}{4}$

Wir kürzen die 20 und die 4 mit 4.

$\frac{5 \cdot 3}{1} = 15$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwortsatz formulieren
Die Blumenerde wiegt insgesamt 15 kg.

Ergebnis:

Die Blumenerde wiegt insgesamt 15 kg.

Beispiel 4

Aufgabe

Familie Meier isst zum Frühstück 6 Brötchen. Jedes Brötchen wird mit $\frac{1}{10}$ eines Päckchens Butter bestrichen. Welcher Anteil des Päckchens wird verbraucht?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Verstehen und Informationen sammeln
- Gegeben: 6 Brötchen, $\frac{1}{10}$ Päckchen Butter pro Brötchen.
- Gefragt: Gesamtanteil der Butter.
Schritt 2
Rechnung aufstellen
$6 \cdot \frac{1}{10}$
Schritt 3
Lösen
$\frac{6 \cdot 1}{10} = \frac{6}{10}$

Wir kürzen den Bruch mit 2.

$\frac{3}{5}$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwortsatz formulieren
Es werden $\frac{3}{5}$ des Päckchens Butter verbraucht.

Ergebnis:

Es werden $\frac{3}{5}$ des Päckchens Butter verbraucht.

Beispiel 5

Aufgabe

Ein Film auf einem Streaming-Dienst ist $1\frac{3}{4}$ Stunden lang. Jemand schaut sich diesen Film 4-mal an. Wie viele Stunden hat die Person insgesamt ferngesehen?

Fortschritt

4 / 4

1
Schritt 1
Verstehen und Informationen sammeln
- Gegeben: $1\frac{3}{4}$ Stunden pro Film, 4-mal geschaut.
- Gefragt: Gesamtzeit.
Schritt 2
Rechnung aufstellen
$4 \cdot 1\frac{3}{4}$
Schritt 3
Lösen
Wir wandeln die gemischte Zahl um: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$ .

$4 \cdot \frac{7}{4} = \frac{4 \cdot 7}{4}$

Wir kürzen die 4 im Zähler und im Nenner.

$\frac{1 \cdot 7}{1} = 7$
Schritt 4 · Ergebnis
Antwortsatz formulieren
Die Person hat insgesamt 7 Stunden ferngesehen.

Ergebnis:

Die Person hat insgesamt 7 Stunden ferngesehen.

Wichtige Erkenntnisse

Ganze Zahl mal Bruch: Multipliziere die ganze Zahl immer nur mit dem Zähler. Der Nenner bleibt gleich.
Der Profi-Trick: Immer zuerst kürzen! Suche gemeinsame Teiler von der ganzen Zahl und dem Nenner. Das spart viel Rechenarbeit.
Gemischte Zahlen: Bevor du rechnest, wandle jede gemischte Zahl in einen unechten Bruch um.
Textaufgaben: Lies genau, stelle die Rechnung auf und vergiss am Ende den Antwortsatz nicht.

Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren – einfach erklärt