Binomische Formeln faktorisieren: rückwärts anwenden

Binomische Formeln faktorisieren – also rückwärts anwenden – ist einer der nützlichsten Tricks in der Mathe-Schullaufbahn. Anstatt lange und komplizierte Terme mühsam umzuformen, lernst du hier, das Muster sofort zu erkennen und den Term in eine super einfache Form zu verwandeln. Das spart nicht nur Zeit bei den Hausaufgaben, sondern ist auch der Schlüssel, um später komplexe Gleichungen zu knacken. Wer die Muster kennt, ist allen anderen einen Schritt voraus.

Schnellantwort

Binomische Formeln rückwärts anwenden bedeutet, einen ausmultiplizierten Term wie $a^2 + 2ab + b^2$ wieder in seine kompakte Klammer-Form $(a+b)^2$ umzuwandeln. Diesen Vorgang nennt man Faktorisieren. Es gibt drei binomische Formeln, die jeweils eigene Erkennungsmerkmale haben – wer diese kennt, kann jeden passenden Term blitzschnell faktorisieren.

Vorwissen

Bevor wir die Formeln rückwärts anwenden, wiederholen wir kurz die Grundlagen, die du schon kennst:

• 1. Binomische Formel (vorwärts)

  • Formel: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  • Beispiel: $(x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

• 2. Binomische Formel (vorwärts)

  • Formel: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  • Beispiel: $(y-4)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 - 8y + 16$

• 3. Binomische Formel (vorwärts)

  • Formel: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
  • Beispiel: $(z+5)(z-5) = z^2 - 5^2 = z^2 - 25$

• Quadratwurzel ziehen

  • Beschreibung: Die Quadratwurzel ist die Umkehrung des Quadrierens. Sie findet die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die ursprüngliche Zahl ergibt.
  • Beispiel: Die Wurzel aus $36$ ist $6$, weil $6 \cdot 6 = 36$. Geschrieben als $\sqrt{36} = 6$. Genauso ist $\sqrt{x^2} = x$.

Aufgabentyp 1: Erste binomische Formel (rückwärts)

Die erste binomische Formel lautet: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Wenn wir sie rückwärts anwenden, bedeutet das, einen Term der Form $a^2 + 2ab + b^2$ zu erkennen und ihn in die kompakte Form $(a+b)^2$ umzuwandeln. Diesen Vorgang nennt man Faktorisieren.

Erkennungsmerkmale:

1. Der Term besteht aus drei Teilen (Summanden).
2. Alle Teile sind durch ein Pluszeichen verbunden.
3. Zwei der Teile sind perfekte Quadrate (wie $x^2$, $9$, $16y^2$).

Schauen wir uns einen Term an: $\textcolor{#08BFFF}{x^2} + \textcolor{#9570FF}{6x} + \textcolor{#53E5D6}{9}$.

• Wir sehen zwei Quadrate: $\textcolor{#08BFFF}{x^2}$ und $\textcolor{#53E5D6}{9}$.

• Daraus können wir $\textcolor{#08BFFF}{a}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b}$ bestimmen:

  • Wenn $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = x^2}$, dann ist $\textcolor{#08BFFF}{a = x}$.
  • Wenn $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 9}$, dann ist $\textcolor{#53E5D6}{b = 3}$.

• Wichtige Prüfung: Passt der mittlere Term $\textcolor{#9570FF}{6x}$ zu $2\textcolor{#08BFFF}{a}\textcolor{#53E5D6}{b}$?

  • Wir rechnen: $2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{x} \cdot \textcolor{#53E5D6}{3} = \textcolor{#9570FF}{6x}$.
  • Ja, es passt perfekt! Also können wir die Formel anwenden.

Das Ergebnis ist $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})^2 = (\textcolor{#08BFFF}{x} + \textcolor{#53E5D6}{3})^2$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Analysiere den Term: Prüfe, ob der Term die drei Erkennungsmerkmale der 1. binomischen Formel erfüllt: drei Summanden, nur Pluszeichen, zwei Quadratzahlen.
2. Identifiziere $a$ und $b$: Finde die beiden quadratischen Terme, die $\textcolor{#08BFFF}{a^2}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b^2}$ entsprechen. Ziehe die Wurzel aus beiden, um $\textcolor{#08BFFF}{a}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b}$ zu erhalten.
3. Überprüfe den Mittelterm: Berechne $2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot \textcolor{#53E5D6}{b}$ und vergleiche das Ergebnis mit dem mittleren Term der Aufgabe. Wenn sie übereinstimmen, kannst du sicher sein, dass es die 1. binomische Formel ist.
4. Wende die Formel an: Setze die gefundenen Werte für $\textcolor{#08BFFF}{a}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b}$ in die faktorisierte Form $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})^2$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Wende eine binomische Formel rückwärts auf den Term $x^2 + 10x + 25$ an.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Der Term hat drei Teile, nur Pluszeichen und zwei Quadrate ($x^2$ und $25$). Es könnte die 1. binomische Formel sein.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Der erste quadratische Term ist $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = x^2}$. Daraus folgt durch Wurzelziehen: $\textcolor{#08BFFF}{a = x}$.
• Der zweite quadratische Term ist $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 25}$. Daraus folgt durch Wurzelziehen: $\textcolor{#53E5D6}{b = 5}$.

Schritt 3: Mittelterm überprüfen

Wir prüfen, ob der mittlere Term $10x$ dem Ausdruck $2\textcolor{#08BFFF}{a}\textcolor{#53E5D6}{b}$ entspricht.

$2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot \textcolor{#53E5D6}{b} = 2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{x} \cdot \textcolor{#53E5D6}{5} = 10x$

Das Ergebnis stimmt mit dem Mittelterm überein. Die Formel ist anwendbar.

Schritt 4: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=x}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=5}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})^2$ ein.

$x^2 + 10x + 25 = (\textcolor{#08BFFF}{x} + \textcolor{#53E5D6}{5})^2$

Ergebnis: $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$

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Beispiel 2

Aufgabe: Faktorisiere den Term $4y^2 + 12yz + 9z^2$.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Der Term hat drei Teile, nur Pluszeichen und zwei Quadrate ($4y^2$ und $9z^2$). Es deutet alles auf die 1. binomische Formel hin.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = 4y^2}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = \sqrt{4y^2} = 2y}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 9z^2}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = \sqrt{9z^2} = 3z}$.

Schritt 3: Mittelterm überprüfen

Wir kontrollieren den Mittelterm $12yz$.

$2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot \textcolor{#53E5D6}{b} = 2 \cdot (\textcolor{#08BFFF}{2y}) \cdot (\textcolor{#53E5D6}{3z}) = 12yz$

Die Überprüfung ist erfolgreich.

Schritt 4: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=2y}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=3z}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})^2$ ein.

$4y^2 + 12yz + 9z^2 = (\textcolor{#08BFFF}{2y} + \textcolor{#53E5D6}{3z})^2$

Ergebnis: $4y^2 + 12yz + 9z^2 = (2y + 3z)^2$

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Beispiel 3

Aufgabe: Wandle den Term $1 + 2c + c^2$ durch Faktorisieren um.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Der Term hat drei Teile, nur Pluszeichen und zwei Quadrate ($1$ und $c^2$). Die 1. binomische Formel passt.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = 1}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = 1}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = c^2}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = c}$.

Schritt 3: Mittelterm überprüfen

Wir prüfen den Mittelterm $2c$.

$2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot \textcolor{#53E5D6}{b} = 2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{1} \cdot \textcolor{#53E5D6}{c} = 2c$

Der Mittelterm stimmt.

Schritt 4: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=1}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=c}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})^2$ ein.

$1 + 2c + c^2 = (\textcolor{#08BFFF}{1} + \textcolor{#53E5D6}{c})^2$

Ergebnis: $1 + 2c + c^2 = (1 + c)^2$

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Beispiel 4

Aufgabe: Faktorisiere den Term $16k^2 + 40k + 25$.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Der Term hat drei Teile, nur Pluszeichen und zwei Quadrate ($16k^2$ und $25$). Dies passt zur 1. binomischen Formel.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = 16k^2}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = 4k}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 25}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = 5}$.

Schritt 3: Mittelterm überprüfen

Wir kontrollieren den Mittelterm $40k$.

$2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot \textcolor{#53E5D6}{b} = 2 \cdot (\textcolor{#08BFFF}{4k}) \cdot \textcolor{#53E5D6}{5} = 40k$

Die Kontrolle ist erfolgreich.

Schritt 4: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=4k}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=5}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})^2$ ein.

$16k^2 + 40k + 25 = (\textcolor{#08BFFF}{4k} + \textcolor{#53E5D6}{5})^2$

Ergebnis: $16k^2 + 40k + 25 = (4k + 5)^2$

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Beispiel 5

Aufgabe: Wende eine binomische Formel rückwärts auf den Term $9e^2 + f^2 + 6ef$ an.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Zuerst sortieren wir den Term, damit die Quadrate außen stehen: $9e^2 + 6ef + f^2$. Der Term hat drei Teile, nur Pluszeichen und zwei Quadrate ($9e^2$ und $f^2$). Es ist die 1. binomische Formel.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = 9e^2}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = 3e}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = f^2}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = f}$.

Schritt 3: Mittelterm überprüfen

Wir prüfen den Mittelterm $6ef$.

$2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot \textcolor{#53E5D6}{b} = 2 \cdot (\textcolor{#08BFFF}{3e}) \cdot \textcolor{#53E5D6}{f} = 6ef$

Der Mittelterm stimmt.

Schritt 4: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=3e}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=f}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})^2$ ein.

$9e^2 + 6ef + f^2 = (\textcolor{#08BFFF}{3e} + \textcolor{#53E5D6}{f})^2$

Ergebnis: $9e^2 + 6ef + f^2 = (3e + f)^2$

Aufgabentyp 2: Zweite binomische Formel (rückwärts)

Die zweite binomische Formel lautet: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Das Faktorisieren funktioniert hier fast genauso wie bei der ersten Formel. Der entscheidende Unterschied ist das Minuszeichen.

Erkennungsmerkmale:

1. Der Term besteht aus drei Teilen.
2. Es gibt ein Minuszeichen vor dem mittleren Term.
3. Zwei der Teile sind perfekte Quadrate.

Betrachten wir den Term $\textcolor{#08BFFF}{y^2} - \textcolor{#9570FF}{8y} + \textcolor{#53E5D6}{16}$.

• Wir erkennen die Quadrate: $\textcolor{#08BFFF}{y^2}$ und $\textcolor{#53E5D6}{16}$.

• Daraus bestimmen wir $\textcolor{#08BFFF}{a}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b}$:

  • Wenn $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = y^2}$, dann ist $\textcolor{#08BFFF}{a = y}$.
  • Wenn $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 16}$, dann ist $\textcolor{#53E5D6}{b = 4}$.

• Prüfung des Mittelterms: Passt $\textcolor{#9570FF}{8y}$ zu $2\textcolor{#08BFFF}{a}\textcolor{#53E5D6}{b}$?

  • Wir rechnen: $2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{y} \cdot \textcolor{#53E5D6}{4} = \textcolor{#9570FF}{8y}$.
  • Ja, es passt. Das Minuszeichen im Term sagt uns, dass wir die zweite Formel verwenden müssen.

Das Ergebnis ist $(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})^2 = (\textcolor{#08BFFF}{y} - \textcolor{#53E5D6}{4})^2$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Analysiere den Term: Prüfe, ob der Term die Merkmale der 2. binomischen Formel erfüllt: drei Summanden, ein Minuszeichen (vor dem gemischten Term), zwei Quadratzahlen.
2. Identifiziere $a$ und $b$: Finde die beiden quadratischen Terme ($\textcolor{#08BFFF}{a^2}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b^2}$) und ziehe die Wurzel, um $\textcolor{#08BFFF}{a}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b}$ zu finden.
3. Überprüfe den Mittelterm: Berechne $2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot \textcolor{#53E5D6}{b}$. Stimmt das Ergebnis (ohne Vorzeichen) mit dem mittleren Term der Aufgabe überein?
4. Wende die Formel an: Setze die gefundenen Werte für $\textcolor{#08BFFF}{a}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b}$ in die faktorisierte Form $(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})^2$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Wende eine binomische Formel rückwärts auf den Term $z^2 - 12z + 36$ an.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Der Term hat drei Teile, ein Minuszeichen und zwei Quadrate ($z^2$ und $36$). Das passt zur 2. binomischen Formel.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = z^2}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = z}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 36}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = 6}$.

Schritt 3: Mittelterm überprüfen

Wir prüfen den Mittelterm $12z$.

$2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot \textcolor{#53E5D6}{b} = 2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{z} \cdot \textcolor{#53E5D6}{6} = 12z$

Das Ergebnis stimmt. Das Minuszeichen in der Aufgabe bestätigt die 2. Formel.

Schritt 4: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=z}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=6}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})^2$ ein.

$z^2 - 12z + 36 = (\textcolor{#08BFFF}{z} - \textcolor{#53E5D6}{6})^2$

Ergebnis: $z^2 - 12z + 36 = (z - 6)^2$

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Beispiel 2

Aufgabe: Faktorisiere den Term $25x^2 - 20xy + 4y^2$.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Der Term hat drei Teile, ein Minuszeichen und zwei Quadrate ($25x^2$ und $4y^2$). Es ist die 2. binomische Formel.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = 25x^2}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = 5x}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 4y^2}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = 2y}$.

Schritt 3: Mittelterm überprüfen

Wir kontrollieren den Mittelterm $20xy$.

$2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot \textcolor{#53E5D6}{b} = 2 \cdot (\textcolor{#08BFFF}{5x}) \cdot (\textcolor{#53E5D6}{2y}) = 20xy$

Die Überprüfung ist erfolgreich.

Schritt 4: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=5x}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=2y}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})^2$ ein.

$25x^2 - 20xy + 4y^2 = (\textcolor{#08BFFF}{5x} - \textcolor{#53E5D6}{2y})^2$

Ergebnis: $25x^2 - 20xy + 4y^2 = (5x - 2y)^2$

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Beispiel 3

Aufgabe: Wandle den Term $49 - 14m + m^2$ durch Faktorisieren um.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Der Term hat drei Teile, ein Minuszeichen und zwei Quadrate ($49$ und $m^2$). Dies passt zur 2. binomischen Formel.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = 49}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = 7}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = m^2}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = m}$.

Schritt 3: Mittelterm überprüfen

Wir prüfen den Mittelterm $14m$.

$2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot \textcolor{#53E5D6}{b} = 2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{7} \cdot \textcolor{#53E5D6}{m} = 14m$

Der Mittelterm stimmt.

Schritt 4: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=7}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=m}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})^2$ ein.

$49 - 14m + m^2 = (\textcolor{#08BFFF}{7} - \textcolor{#53E5D6}{m})^2$

Ergebnis: $49 - 14m + m^2 = (7 - m)^2$

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Beispiel 4

Aufgabe: Faktorisiere den Term $100a^2 - 60ab + 9b^2$.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Der Term hat drei Teile, ein Minuszeichen und zwei Quadrate ($100a^2$ und $9b^2$). Dies ist ein Fall für die 2. binomische Formel.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = 100a^2}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = 10a}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 9b^2}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = 3b}$.

Schritt 3: Mittelterm überprüfen

Wir kontrollieren den Mittelterm $60ab$.

$2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot \textcolor{#53E5D6}{b} = 2 \cdot (\textcolor{#08BFFF}{10a}) \cdot (\textcolor{#53E5D6}{3b}) = 60ab$

Die Kontrolle ist erfolgreich.

Schritt 4: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=10a}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=3b}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})^2$ ein.

$100a^2 - 60ab + 9b^2 = (\textcolor{#08BFFF}{10a} - \textcolor{#53E5D6}{3b})^2$

Ergebnis: $100a^2 - 60ab + 9b^2 = (10a - 3b)^2$

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Beispiel 5

Aufgabe: Wende eine binomische Formel rückwärts auf den Term $h^2 + 25l^2 - 10hl$ an.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Wir sortieren den Term: $h^2 - 10hl + 25l^2$. Er hat drei Teile, ein Minuszeichen und zwei Quadrate ($h^2$ und $25l^2$). Es ist die 2. binomische Formel.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = h^2}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = h}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 25l^2}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = 5l}$.

Schritt 3: Mittelterm überprüfen

Wir prüfen den Mittelterm $10hl$.

$2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{a} \cdot \textcolor{#53E5D6}{b} = 2 \cdot \textcolor{#08BFFF}{h} \cdot (\textcolor{#53E5D6}{5l}) = 10hl$

Der Mittelterm stimmt.

Schritt 4: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=h}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=5l}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})^2$ ein.

$h^2 - 10hl + 25l^2 = (\textcolor{#08BFFF}{h} - \textcolor{#53E5D6}{5l})^2$

Ergebnis: $h^2 - 10hl + 25l^2 = (h - 5l)^2$

Aufgabentyp 3: Dritte binomische Formel (rückwärts)

Die dritte binomische Formel lautet: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Rückwärts angewendet, bedeutet das, eine Differenz von zwei Quadraten zu erkennen und sie in das Produkt $(a+b)(a-b)$ umzuwandeln.

Erkennungsmerkmale:

1. Der Term besteht aus nur zwei Teilen.
2. Die beiden Teile sind durch ein Minuszeichen getrennt.
3. Beide Teile sind perfekte Quadrate.

Nehmen wir den Term $\textcolor{#08BFFF}{x^2} - \textcolor{#53E5D6}{49}$.

• Wir haben zwei Quadrate: $\textcolor{#08BFFF}{x^2}$ und $\textcolor{#53E5D6}{49}$.

• Wir bestimmen $\textcolor{#08BFFF}{a}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b}$ durch Wurzelziehen:

  • Wenn $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = x^2}$, dann ist $\textcolor{#08BFFF}{a = x}$.
  • Wenn $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 49}$, dann ist $\textcolor{#53E5D6}{b = 7}$.

• Eine Überprüfung eines Mittelterms ist hier nicht nötig, da es keinen gibt.

Das Ergebnis ist $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b}) = (\textcolor{#08BFFF}{x} + \textcolor{#53E5D6}{7})(\textcolor{#08BFFF}{x} - \textcolor{#53E5D6}{7})$.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

1. Analysiere den Term: Prüfe, ob der Term die Merkmale der 3. binomischen Formel erfüllt: zwei quadratische Terme, die durch ein Minuszeichen getrennt sind.
2. Identifiziere $a$ und $b$: Identifiziere $\textcolor{#08BFFF}{a^2}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b^2}$. Ziehe aus beiden die Wurzel, um $\textcolor{#08BFFF}{a}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b}$ zu erhalten.
3. Wende die Formel an: Setze die gefundenen Werte für $\textcolor{#08BFFF}{a}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b}$ in die faktorisierte Form $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})$ ein.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe: Wende eine binomische Formel rückwärts auf den Term $y^2 - 81$ an.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Der Term besteht aus zwei Quadraten ($y^2$ und $81$), die durch ein Minus getrennt sind. Das ist die 3. binomische Formel.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = y^2}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = y}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 81}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = 9}$.

Schritt 3: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=y}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=9}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})$ ein.

$y^2 - 81 = (\textcolor{#08BFFF}{y} + \textcolor{#53E5D6}{9})(\textcolor{#08BFFF}{y} - \textcolor{#53E5D6}{9})$

Ergebnis: $y^2 - 81 = (y + 9)(y - 9)$

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Beispiel 2

Aufgabe: Faktorisiere den Term $4s^2 - t^2$.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Der Term ist eine Differenz aus zwei Quadraten ($4s^2$ und $t^2$). Das passt perfekt zur 3. binomischen Formel.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = 4s^2}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = 2s}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = t^2}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = t}$.

Schritt 3: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=2s}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=t}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})$ ein.

$4s^2 - t^2 = (\textcolor{#08BFFF}{2s} + \textcolor{#53E5D6}{t})(\textcolor{#08BFFF}{2s} - \textcolor{#53E5D6}{t})$

Ergebnis: $4s^2 - t^2 = (2s + t)(2s - t)$

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Beispiel 3

Aufgabe: Wandle den Term $144k^2 - 121m^2$ durch Faktorisieren um.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Wir haben zwei Quadrate ($144k^2$ und $121m^2$) und ein Minuszeichen dazwischen. Das ist ein klarer Fall für die 3. binomische Formel.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = 144k^2}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = 12k}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 121m^2}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = 11m}$.

Schritt 3: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=12k}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=11m}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})$ ein.

$144k^2 - 121m^2 = (\textcolor{#08BFFF}{12k} + \textcolor{#53E5D6}{11m})(\textcolor{#08BFFF}{12k} - \textcolor{#53E5D6}{11m})$

Ergebnis: $144k^2 - 121m^2 = (12k + 11m)(12k - 11m)$

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Beispiel 4

Aufgabe: Faktorisiere den Term $1 - 64x^2$.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Der Term ist eine Differenz zweier Quadrate ($1$ und $64x^2$). Wir verwenden die 3. binomische Formel.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = 1}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = 1}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = 64x^2}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = 8x}$.

Schritt 3: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=1}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=8x}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})$ ein.

$1 - 64x^2 = (\textcolor{#08BFFF}{1} + \textcolor{#53E5D6}{8x})(\textcolor{#08BFFF}{1} - \textcolor{#53E5D6}{8x})$

Ergebnis: $1 - 64x^2 = (1 + 8x)(1 - 8x)$

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Beispiel 5

Aufgabe: Wende eine binomische Formel rückwärts auf den Term $x^4 - y^4$ an.

Lösung:

Schritt 1: Term analysieren

Auch wenn die Exponenten 4 sind, handelt es sich um eine Differenz von Quadraten, denn $x^4 = (x^2)^2$ und $y^4 = (y^2)^2$. Es ist die 3. binomische Formel.

Schritt 2: $a$ und $b$ identifizieren

• Aus $\textcolor{#08BFFF}{a^2 = x^4}$ folgt $\textcolor{#08BFFF}{a = x^2}$.
• Aus $\textcolor{#53E5D6}{b^2 = y^4}$ folgt $\textcolor{#53E5D6}{b = y^2}$.

Schritt 3: Formel anwenden

Wir setzen $\textcolor{#08BFFF}{a=x^2}$ und $\textcolor{#53E5D6}{b=y^2}$ in $(\textcolor{#08BFFF}{a} + \textcolor{#53E5D6}{b})(\textcolor{#08BFFF}{a} - \textcolor{#53E5D6}{b})$ ein.

$x^4 - y^4 = (\textcolor{#08BFFF}{x^2} + \textcolor{#53E5D6}{y^2})(\textcolor{#08BFFF}{x^2} - \textcolor{#53E5D6}{y^2})$

Bonus: Der zweite Faktor $(x^2 - y^2)$ ist selbst wieder eine 3. binomische Formel! Wir können sie also noch einmal anwenden:

$(x^2 + y^2)(x+y)(x-y)$

Ergebnis: $x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x+y)(x-y)$

Wichtige Erkenntnisse

• 1. Binomische Formel: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

  • Erkennung: Drei Teile, nur Pluszeichen.

• 2. Binomische Formel: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

  • Erkennung: Drei Teile, ein Minuszeichen in der Mitte.

• 3. Binomische Formel: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

  • Erkennung: Zwei Teile, getrennt durch ein Minuszeichen.

• Der Kontroll-Schritt ist entscheidend: Bei der 1. und 2. Formel immer prüfen, ob der mittlere Term wirklich $2ab$ entspricht!