Anwendungsaufgaben Zylinder einfach erklärt

• Gegeben: Gesamtfläche des Feldes $A_{Feld} = 7{,}5 \text{ ha}$, Breite der Walze (Höhe des Zylinders) $h = 12{,}5 \text{ m}$, Durchmesser der Walze $d = 127 \text{ cm}$.
• Gesucht: Anzahl der Umdrehungen.
• Überlegung: Eine Umdrehung der Walze erntet eine Fläche, die genau der Mantelfläche des Zylinders entspricht.

Wir brauchen die Fläche, die bei einer Umdrehung abgedeckt wird. Das ist die Mantelfläche.

$M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$

Die Einheiten sind gemischt (ha, m, cm). Wir rechnen alles in Meter um.

• Feldfläche: $1 \text{ ha} = 10.000 \text{ m}^2 \to 7{,}5 \text{ ha} = 7{,}5 \cdot 10.000 \text{ m}^2 = 75.000 \text{ m}^2$
• Durchmesser: $1 \text{ m} = 100 \text{ cm} \to 127 \text{ cm} = 1{,}27 \text{ m}$

Zuerst berechnen wir den Radius aus dem Durchmesser:

$r = \frac{d}{2} = \frac{1{,}27 \text{ m}}{2} = 0{,}635 \text{ m}$

Jetzt setzen wir $r$ und $h$ in die Mantelflächenformel ein:

$M = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}635 \text{ m} \cdot 12{,}5 \text{ m}$

$M \approx 49{,}87 \text{ m}^2$

Eine Umdrehung erntet also ca. $49{,}87 \text{ m}^2$. Jetzt teilen wir die Gesamtfläche durch die Fläche pro Umdrehung:

Anzahl der Umdrehungen $= \frac{A_{Feld}}{M} = \frac{75.000 \text{ m}^2}{49{,}87 \text{ m}^2} \approx 1503{,}9$

Da sich die Walze nur eine ganze Anzahl von Malen drehen kann, müssen wir aufrunden.

• Gegeben: Durchmesser $d = 8 \text{ cm}$, Höhe $h = 11 \text{ cm}$.
• Gesucht: Füllmenge in Litern. Das ist das Volumen.

Da es um die Füllmenge geht, benötigen wir die Formel für das Volumen.

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Alle Angaben sind in cm. Das ist konsistent. Wir müssen später das Ergebnis von $\text{cm}^3$ in Liter umrechnen ($1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ Liter}$).

Zuerst berechnen wir den Radius:

$r = \frac{d}{2} = \frac{8 \text{ cm}}{2} = 4 \text{ cm}$

Jetzt setzen wir die Werte in die Volumenformel ein:

$V = \pi \cdot (4 \text{ cm})^2 \cdot 11 \text{ cm}$

$V = \pi \cdot 16 \text{ cm}^2 \cdot 11 \text{ cm}$

$V \approx 552{,}92 \text{ cm}^3$

Nun rechnen wir das Volumen in Liter um:

$552{,}92 \text{ cm}^3 = \frac{552{,}92}{1000} \text{ Liter} \approx 0{,}55 \text{ Liter}$

• Gegeben: Durchmesser $d = 4 \text{ m}$, Höhe $h = 5 \text{ m}$, Farbdeckung $= 20 \text{ m}^2$ pro Dose.
• Gesucht: Anzahl der Farbdosen. Dafür brauchen wir die zu streichende Fläche, also die Mantelfläche.

Da nur die Seitenwand gestrichen wird, ist die Mantelfläche gesucht.

$M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$

Alle Maße sind in m, das passt.

Zuerst der Radius:

$r = \frac{d}{2} = \frac{4 \text{ m}}{2} = 2 \text{ m}$

Einsetzen in die Formel:

$M = 2 \cdot \pi \cdot 2 \text{ m} \cdot 5 \text{ m}$

$M = 20 \cdot \pi \text{ m}^2$

$M \approx 62{,}83 \text{ m}^2$

Die zu streichende Fläche beträgt ca. $62{,}83 \text{ m}^2$. Eine Dose reicht für $20 \text{ m}^2$. Wir teilen, um die Anzahl der Dosen zu finden:

Anzahl Dosen $= \frac{62{,}83 \text{ m}^2}{20 \text{ m}^2} \approx 3{,}14$

Da man keine angebrochenen Dosen kaufen kann, muss man aufrunden.

• Gegeben: Länge (Höhe) $h = 50 \text{ m}$, Innendurchmesser $d = 2 \text{ cm}$.
• Gesucht: Das Volumen des Wassers in $\text{m}^3$.

Gesucht ist der Inhalt des Rohres, also das Volumen.

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Die Einheiten sind m und cm. Da das Ergebnis in $\text{m}^3$ verlangt wird, rechnen wir alles in Meter um.

• Durchmesser: $d = 2 \text{ cm} = 0{,}02 \text{ m}$

Zuerst den Radius berechnen:

$r = \frac{d}{2} = \frac{0{,}02 \text{ m}}{2} = 0{,}01 \text{ m}$

Jetzt in die Volumenformel einsetzen:

$V = \pi \cdot (0{,}01 \text{ m})^2 \cdot 50 \text{ m}$

$V = \pi \cdot 0{,}0001 \text{ m}^2 \cdot 50 \text{ m}$

$V \approx 0{,}0157 \text{ m}^3$

• Gegeben: Durchmesser $d = 1{,}50 \text{ m}$, Höhe $h = 1{,}20 \text{ m}$, Preis $= 0{,}80 \text{ €/m}^2$.
• Gesucht: Kosten für die Folie. Dafür brauchen wir die Fläche der Umwicklung, also die Mantelfläche.

Die Umwicklung entspricht der Mantelfläche.

$M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$

Alle Maße sind in m, der Preis ist pro $\text{m}^2$. Das passt alles zusammen.

Zuerst den Radius berechnen:

$r = \frac{d}{2} = \frac{1{,}50 \text{ m}}{2} = 0{,}75 \text{ m}$

Einsetzen in die Formel:

$M = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}75 \text{ m} \cdot 1{,}20 \text{ m}$

$M \approx 5{,}65 \text{ m}^2$

Die Mantelfläche beträgt ca. $5{,}65 \text{ m}^2$. Jetzt berechnen wir die Kosten:

Kosten $= M \cdot \text{Preis pro m}^2 = 5{,}65 \text{ m}^2 \cdot 0{,}80 \text{ €/m}^2 \approx 4{,}52 \text{ €}$