Was sind ganze Zahlen und wie rechnet man mit ihnen?

Ganze Zahlen umfassen alle positiven Zahlen, alle negativen Zahlen und die Null – also …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Beim Rechnen mit ihnen musst du auf die Vorzeichen achten. Hilfreich ist der Zahlenstrahl : Addition bedeutet, nach rechts zu gehen (ins Positive), Subtraktion bedeutet, nach links zu gehen (ins Negative). Mit den richtigen Regeln lassen sich alle Aufgaben sicher lösen.

Wie wendet man die Vorzeichen-Regeln bei ganzen Zahlen an?

Wenn zwei Rechenzeichen direkt aufeinandertreffen, vereinfachst du sie nach dieser Regel: Gleiche Zeichen werden zu Plus , verschiedene Zeichen werden zu Minus . Zum Beispiel: (+5) - (-3) hat zwei Minuszeichen hintereinander – das wird zu Plus, also 5 + 3 = 8 . Und (+5) + (-3) hat Plus und Minus – das wird zu Minus, also 5 - 3 = 2 .

Was bedeutet es, eine Subtraktion als Addition umzuschreiben?

Die Gegenzahl einer Zahl ist die Zahl auf der gegenüberliegenden Seite der Null auf dem Zahlenstrahl. Die Gegenzahl von 7 ist -7, die Gegenzahl von -12 ist +12. Die Regel lautet: Eine Zahl zu subtrahieren ist dasselbe wie ihre Gegenzahl zu addieren. Zum Beispiel gilt 10 - (+7) = 10 + (-7) . Diese Methode ist eine weitere Möglichkeit, Subtraktionsaufgaben mit ganzen Zahlen zu lösen.

Wie füllt man eine Rechentabelle mit ganzen Zahlen aus?

Bei einer Rechentabelle steht die Grundrechnung immer fest: Wert aus der Zeile (Minuend) minus Wert aus der Spalte (Subtrahend) . Du liest für jede leere Zelle den passenden Minuenden und Subtrahenden ab, stellst die Subtraktion auf und wendest die Vorzeichen-Regeln an. Das Ergebnis trägst du in die Zelle ein. Danach wiederholst du das Vorgehen für alle übrigen Zellen.

Warum wird Minus und Minus zu Plus?

Minus mal Minus gibt Plus, weil das Subtrahieren einer negativen Zahl gleichbedeutend ist mit dem Addieren ihrer Gegenzahl. Wenn du zum Beispiel 5 - (-3) rechnest, subtrahierst du eine negative Zahl – das entspricht 5 + 3 = 8 . Zwei gleiche Vorzeichen hintereinander heben sich gegenseitig auf und ergeben ein Plus. Diese Logik gilt in der gesamten Mathematik konsequent.

Addition und Subtraktion ganzer Zahlen

Addition und Subtraktion ganzer Zahlen begegnen dir überall im Alltag – etwa wenn die Temperatur von 5 °C auf -10 °C fällt oder dein Kontostand nach einer Ausgabe ins Negative rutscht. Das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen wirkt am Anfang knifflig, weil man plötzlich auf Plus- und Minuszeichen achten muss. Sobald du aber die einfachen Regeln kennst, kannst du solche Aufgaben sicher und schnell lösen. Diese Grundlage brauchst du in fast jedem weiteren Mathe-Thema – also legen wir los!

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz zwei wichtige Grundlagen:

Ganze Zahlen: Das sind alle positiven Zahlen, alle negativen Zahlen und die Null. Zum Beispiel: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Zahlenstrahl: Eine Linie, auf der alle Zahlen geordnet sind. Die positiven Zahlen sind rechts von der Null, die negativen links. Er hilft uns, Rechnungen vorzustellen.
- Beispiel: Addition bedeutet, auf dem Zahlenstrahl nach rechts zu gehen. Subtraktion bedeutet, nach links zu gehen.

Zahlenstrahl mit positiven und negativen ganzen Zahlen

Aufgabentyp 1: Rechnen mit Vorzeichen

Bei der Addition und Subtraktion ganzer Zahlen triffst du häufig auf Aufgaben, bei denen zwei Rechenzeichen direkt aufeinandertreffen – zum Beispiel $(+5) - (-3)$ . Hier müssen wir die zwei Zeichen zuerst zu einem einzigen Zeichen vereinfachen. Dafür gibt es vier einfache Regeln, die du dir merken musst.

Die Vorzeichen-Regeln:

Plus und Plus wird zu Plus: $(+5) + (+3)$ wird zu $5 + 3$
Minus und Minus wird zu Plus: $(+5) - (-3)$ wird zu $5 + 3$
Plus und Minus wird zu Minus: $(+5) + (-3)$ wird zu $5 - 3$
Minus und Plus wird zu Minus: $(+5) - (+3)$ wird zu $5 - 3$

Eine einfache Merkhilfe: Gleiche Zeichen werden zu Plus, verschiedene Zeichen werden zu Minus.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Vorzeichen vereinfachen: Schau dir die Zeichen in der Mitte der Rechnung an. Wende die Vorzeichen-Regeln an, um die zwei Zeichen durch ein einziges zu ersetzen.
Ergebnis berechnen: Löse die einfache Additions- oder Subtraktionsaufgabe, die nach der Vereinfachung übrig bleibt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Berechne: $(+8) + (+5)$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Vorzeichen vereinfachen
Wir haben ein Pluszeichen gefolgt von einem Pluszeichen: $\textcolor{#08BFFF}{+} (\textcolor{#08BFFF}{+}5)$ . Die Regel lautet: Gleiche Zeichen werden zu Plus.

$(+8) + (+5) = 8 \textcolor{#08BFFF}{+} 5$
Schritt 2 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
Jetzt rechnen wir die einfache Addition.

$8 + 5 = 13$

Ergebnis:

$(+8) + (+5) = 13$

Beispiel 2

Aufgabe

Berechne: $(+10) - (+4)$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Vorzeichen vereinfachen
Wir haben ein Minuszeichen gefolgt von einem Pluszeichen: $\textcolor{#53E5D6}{-} (\textcolor{#53E5D6}{+}4)$ . Die Regel lautet: Verschiedene Zeichen werden zu Minus.

$(+10) - (+4) = 10 \textcolor{#53E5D6}{-} 4$
Schritt 2 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
Jetzt rechnen wir die einfache Subtraktion.

$10 - 4 = 6$

Ergebnis:

$(+10) - (+4) = 6$

Beispiel 3

Aufgabe

Berechne: $(-7) + (-6)$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Vorzeichen vereinfachen
Wir haben ein Pluszeichen gefolgt von einem Minuszeichen: $\textcolor{#9570FF}{+} (\textcolor{#9570FF}{-}6)$ . Die Regel lautet: Verschiedene Zeichen werden zu Minus.

$(-7) + (-6) = -7 \textcolor{#9570FF}{-} 6$
Schritt 2 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
Wir starten bei -7 auf dem Zahlenstrahl und gehen 6 Schritte weiter nach links (ins Negative).

$-7 - 6 = -13$

Ergebnis:

$(-7) + (-6) = -13$

Beispiel 4

Aufgabe

Berechne: $(+12) - (-8)$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Vorzeichen vereinfachen
Wir haben ein Minuszeichen gefolgt von einem Minuszeichen: $\textcolor{#1E90FF}{-} (\textcolor{#1E90FF}{-}8)$ . Die Regel lautet: Gleiche Zeichen werden zu Plus.

$(+12) - (-8) = 12 \textcolor{#1E90FF}{+} 8$
Schritt 2 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
Jetzt rechnen wir die einfache Addition.

$12 + 8 = 20$

Ergebnis:

$(+12) - (-8) = 20$

Beispiel 5

Aufgabe

Berechne: $0 - (-15)$

Fortschritt

2 / 2

Schritt 1
Vorzeichen vereinfachen
Wir haben ein Minuszeichen gefolgt von einem Minuszeichen: $\textcolor{#08BFFF}{-} (\textcolor{#08BFFF}{-}15)$ . Die Regel lautet: Gleiche Zeichen werden zu Plus.

$0 - (-15) = 0 \textcolor{#08BFFF}{+} 15$
Schritt 2 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
Jetzt rechnen wir die einfache Addition.

$0 + 15 = 15$

Ergebnis:

$0 - (-15) = 15$

Aufgabentyp 2: Subtraktion als Addition umschreiben

Eine andere Methode beim Rechnen mit ganzen Zahlen ist die Verwendung der Gegenzahl. Die Gegenzahl ist die Zahl auf der gegenüberliegenden Seite der Null auf dem Zahlenstrahl.

Die Gegenzahl von $\textcolor{#08BFFF}{5}$ ist $\textcolor{#53E5D6}{-5}$ .
Die Gegenzahl von $\textcolor{#53E5D6}{-12}$ ist $\textcolor{#08BFFF}{12}$ .

Die Regel lautet: Eine Zahl subtrahieren ist dasselbe wie ihre Gegenzahl addieren.

Zum Beispiel: $10 - (\textcolor{#08BFFF}{+7})$ ist dasselbe wie $10 + (\textcolor{#53E5D6}{-7})$ . Und $10 - (\textcolor{#53E5D6}{-7})$ ist dasselbe wie $10 + (\textcolor{#08BFFF}{+7})$ .

Das ist genau die gleiche Logik wie bei den Vorzeichen-Regeln, nur anders ausgedrückt!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Subtrahend identifizieren: Finde die Zahl, die abgezogen wird (der Subtrahend).
Gegenzahl bilden: Bestimme die Gegenzahl des Subtrahenden. Drehe dafür einfach das Vorzeichen um.
Rechnung umschreiben: Ersetze die Subtraktion durch eine Addition und den Subtrahenden durch seine Gegenzahl.
Ergebnis berechnen: Löse die neue Additionsaufgabe.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Forme die Subtraktion $(+20) - (+11)$ in eine Addition um und berechne das Ergebnis.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Subtrahend identifizieren
Der Subtrahend ist $\textcolor{#08BFFF}{(+11)}$ .
Schritt 2
Gegenzahl bilden
Die Gegenzahl von $(+11)$ ist $\textcolor{#53E5D6}{(-11)}$ .
Schritt 3
Rechnung umschreiben
Wir ersetzen die Subtraktion durch eine Addition mit der Gegenzahl.

$(+20) - (\textcolor{#08BFFF}{+11}) = (+20) + (\textcolor{#53E5D6}{-11})$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
Jetzt lösen wir die Additionsaufgabe. Nach den Vorzeichen-Regeln wird + (-11) zu - 11.

$20 - 11 = 9$

Ergebnis:

$(+20) - (+11) = 9$

Beispiel 2

Aufgabe

Forme die Subtraktion $(-15) - (-5)$ in eine Addition um und berechne das Ergebnis.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Subtrahend identifizieren
Der Subtrahend ist $\textcolor{#08BFFF}{(-5)}$ .
Schritt 2
Gegenzahl bilden
Die Gegenzahl von $(-5)$ ist $\textcolor{#53E5D6}{(+5)}$ .
Schritt 3
Rechnung umschreiben
Wir ersetzen die Subtraktion durch eine Addition mit der Gegenzahl.

$(-15) - (\textcolor{#08BFFF}{-5}) = (-15) + (\textcolor{#53E5D6}{+5})$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
Wir starten bei -15 und gehen 5 Schritte nach rechts (ins Positive).

$-15 + 5 = -10$

Ergebnis:

$(-15) - (-5) = -10$

Beispiel 3

Aufgabe

Forme die Subtraktion $(+30) - (-20)$ in eine Addition um und berechne das Ergebnis.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Subtrahend identifizieren
Der Subtrahend ist $\textcolor{#08BFFF}{(-20)}$ .
Schritt 2
Gegenzahl bilden
Die Gegenzahl von $(-20)$ ist $\textcolor{#53E5D6}{(+20)}$ .
Schritt 3
Rechnung umschreiben
Wir schreiben die Aufgabe als Addition.

$(+30) - (\textcolor{#08BFFF}{-20}) = (+30) + (\textcolor{#53E5D6}{+20})$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
Das ist eine einfache Addition.

$30 + 20 = 50$

Ergebnis:

$(+30) - (-20) = 50$

Beispiel 4

Aufgabe

Forme die Subtraktion $(-8) - (+12)$ in eine Addition um und berechne das Ergebnis.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Subtrahend identifizieren
Der Subtrahend ist $\textcolor{#08BFFF}{(+12)}$ .
Schritt 2
Gegenzahl bilden
Die Gegenzahl von $(+12)$ ist $\textcolor{#53E5D6}{(-12)}$ .
Schritt 3
Rechnung umschreiben
Wir schreiben die Aufgabe als Addition.

$(-8) - (\textcolor{#08BFFF}{+12}) = (-8) + (\textcolor{#53E5D6}{-12})$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
Wir vereinfachen die Vorzeichen und rechnen.

$-8 - 12 = -20$

Ergebnis:

$(-8) - (+12) = -20$

Beispiel 5

Aufgabe

Forme die Subtraktion $0 - (+100)$ in eine Addition um und berechne das Ergebnis.

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Subtrahend identifizieren
Der Subtrahend ist $\textcolor{#08BFFF}{(+100)}$ .
Schritt 2
Gegenzahl bilden
Die Gegenzahl von $(+100)$ ist $\textcolor{#53E5D6}{(-100)}$ .
Schritt 3
Rechnung umschreiben
Wir schreiben die Aufgabe als Addition.

$0 - (\textcolor{#08BFFF}{+100}) = 0 + (\textcolor{#53E5D6}{-100})$
Schritt 4 · Ergebnis
Ergebnis berechnen
Wir vereinfachen und rechnen.

$0 - 100 = -100$

Ergebnis:

$0 - (+100) = -100$

Aufgabentyp 3: Rechentabellen ausfüllen

Rechentabellen sind eine typische Aufgabenform beim Üben der Addition und Subtraktion ganzer Zahlen. Eine Rechentabelle ist einfach eine Sammlung von vielen Rechenaufgaben. Du musst systematisch jede Zelle der Tabelle ausfüllen.

Die Grundrechnung ist immer dieselbe: $\text{Wert aus der Zeile} - \text{Wert aus der Spalte}$ .

Der Wert aus der Zeile heißt Minuend, und der Wert aus der Spalte heißt Subtrahend.

Für jede Zelle wendest du einfach die bekannten Regeln an: Vorzeichen vereinfachen und dann ausrechnen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Eine Zelle auswählen: Suche dir eine leere Zelle in der Tabelle aus.
Minuend und Subtrahend ablesen: Lies den Minuenden am Anfang der Zeile und den Subtrahenden oben in der Spalte ab.
Subtraktion aufstellen: Schreibe die Rechnung auf: $\textcolor{#08BFFF}{\text{Minuend}} - \textcolor{#53E5D6}{\text{Subtrahend}}$ .
Rechnung lösen: Wende die Vorzeichen-Regeln an, um die Aufgabe zu vereinfachen, und berechne das Ergebnis.
Ergebnis eintragen: Schreibe das Ergebnis in die ausgewählte Zelle. Wiederhole dies für alle leeren Zellen.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Vervollständige die Zelle, bei der der Minuend $(+10)$ und der Subtrahend $(+4)$ ist.

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Subtrahend} & +4 \\ \hline \text{Minuend} & +10 & ? \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Zelle und Werte
Wir betrachten die Zelle, wo sich die Zeile $\textcolor{#08BFFF}{(+10)}$ und die Spalte $\textcolor{#53E5D6}{(+4)}$ treffen.
Schritt 3
Subtraktion aufstellen
Die Rechnung lautet: $(+10) - (+4)$ .
Schritt 4
Rechnung lösen
Wir vereinfachen die Vorzeichen: -(+4) wird zu -4.

$10 - 4 = 6$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis eintragen
Das Ergebnis ist 6.

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Subtrahend} & +4 \\ \hline \text{Minuend} & +10 & 6 \end{array}$

Ergebnis:

Die Zelle enthält den Wert 6.

Beispiel 2

Aufgabe

Vervollständige die Zelle, bei der der Minuend $(+10)$ und der Subtrahend $(-3)$ ist.

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Subtrahend} & -3 \\ \hline \text{Minuend} & +10 & ? \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Zelle und Werte
Minuend ist $\textcolor{#08BFFF}{(+10)}$ , Subtrahend ist $\textcolor{#53E5D6}{(-3)}$ .
Schritt 3
Subtraktion aufstellen
Die Rechnung lautet: $(+10) - (-3)$ .
Schritt 4
Rechnung lösen
Wir vereinfachen die Vorzeichen: -(-3) wird zu +3.

$10 + 3 = 13$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis eintragen
Das Ergebnis ist 13.

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Subtrahend} & -3 \\ \hline \text{Minuend} & +10 & 13 \end{array}$

Ergebnis:

Die Zelle enthält den Wert 13.

Beispiel 3

Aufgabe

Vervollständige die Zelle, bei der der Minuend $(-20)$ und der Subtrahend $(+5)$ ist.

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Subtrahend} & +5 \\ \hline \text{Minuend} & -20 & ? \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Zelle und Werte
Minuend ist $\textcolor{#08BFFF}{(-20)}$ , Subtrahend ist $\textcolor{#53E5D6}{(+5)}$ .
Schritt 3
Subtraktion aufstellen
Die Rechnung lautet: $(-20) - (+5)$ .
Schritt 4
Rechnung lösen
Wir vereinfachen die Vorzeichen: -(+5) wird zu -5.

$-20 - 5 = -25$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis eintragen
Das Ergebnis ist -25.

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Subtrahend} & +5 \\ \hline \text{Minuend} & -20 & -25 \end{array}$

Ergebnis:

Die Zelle enthält den Wert -25.

Beispiel 4

Aufgabe

Vervollständige die Zelle, bei der der Minuend $(-20)$ und der Subtrahend $(-10)$ ist.

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Subtrahend} & -10 \\ \hline \text{Minuend} & -20 & ? \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Zelle und Werte
Minuend ist $\textcolor{#08BFFF}{(-20)}$ , Subtrahend ist $\textcolor{#53E5D6}{(-10)}$ .
Schritt 3
Subtraktion aufstellen
Die Rechnung lautet: $(-20) - (-10)$ .
Schritt 4
Rechnung lösen
Wir vereinfachen die Vorzeichen: -(-10) wird zu +10.

$-20 + 10 = -10$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis eintragen
Das Ergebnis ist -10.

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Subtrahend} & -10 \\ \hline \text{Minuend} & -20 & -10 \end{array}$

Ergebnis:

Die Zelle enthält den Wert -10.

Beispiel 5

Aufgabe

Vervollständige die Zelle, bei der der Minuend $(-50)$ und der Subtrahend $(-50)$ ist.

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Subtrahend} & -50 \\ \hline \text{Minuend} & -50 & ? \end{array}$

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1 & 2
Zelle und Werte
Minuend ist $\textcolor{#08BFFF}{(-50)}$ , Subtrahend ist $\textcolor{#53E5D6}{(-50)}$ .
Schritt 3
Subtraktion aufstellen
Die Rechnung lautet: $(-50) - (-50)$ .
Schritt 4
Rechnung lösen
Wir vereinfachen die Vorzeichen: -(-50) wird zu +50.

$-50 + 50 = 0$
Schritt 5 · Ergebnis
Ergebnis eintragen
Das Ergebnis ist 0.

$\begin{array}{c|c|c} & \text{Subtrahend} & -50 \\ \hline \text{Minuend} & -50 & 0 \end{array}$

Ergebnis:

Die Zelle enthält den Wert 0.

Wichtige Erkenntnisse

Vorzeichen-Regeln: Wenn zwei Rechenzeichen aufeinandertreffen, gilt: Gleiche Zeichen ( $++$ oder $--$ ) werden zu $+$ . Verschiedene Zeichen ( $+-$ oder $-+$ ) werden zu $-$ .
Subtraktion als Addition: Eine Zahl zu subtrahieren ist dasselbe, wie ihre Gegenzahl zu addieren. Zum Beispiel: $5 - (-3) = 5 + 3$ .
Zahlenstrahl als Hilfe: Addition geht nach rechts (ins Positive), Subtraktion geht nach links (ins Negative).

Addition und Subtraktion ganzer Zahlen einfach erklärt

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Rechnen mit Vorzeichen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Subtraktion als Addition umschreiben

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 3: Rechentabellen ausfüllen

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

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