Was sind ganze Zahlen und wie addiert man sie?

Ganze Zahlen sind alle positiven Zahlen, alle negativen Zahlen und die Null – ohne Komma. Beispiele: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . Beim Addieren ganzer Zahlen kann das Ergebnis positiv, negativ oder null sein. Auf der Zahlengerade entspricht eine Addition einer Bewegung: Ein positiver Summand bedeutet einen Schritt nach rechts, ein negativer Summand einen Schritt nach links.

Was ist der Betrag einer Zahl und wie berechnet man ihn?

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null auf der Zahlengerade. Man schreibt ihn mit senkrechten Strichen: |x| . Um ihn zu berechnen, lässt du einfach das Vorzeichen weg: |−4| = 4 und |+4| = 4 . Der Betrag ist immer positiv oder null – niemals negativ, weil ein Abstand nie negativ sein kann.

Was ist die Gegenzahl und wie bestimmt man sie?

Die Gegenzahl einer Zahl liegt auf der Zahlengerade auf der anderen Seite der Null, hat aber denselben Abstand. Man erhält sie, indem man das Vorzeichen umdreht: Die Gegenzahl von +5 ist −5 , die Gegenzahl von −3 ist +3 . Die Gegenzahl von 0 ist wieder 0 , da Null kein Vorzeichen hat.

Wie findet man eine fehlende Zahl in einer Additionsgleichung?

Stell dir die Gleichung als Startpunkt + Bewegung = Endpunkt vor. Fehlt die Bewegung ( a + □ = b ), zeichne einen Pfeil vom Startpunkt zum Endpunkt auf der Zahlengerade und zähle die Schritte. Fehlt der Startpunkt ( □ + a = b ), gehe vom Endpunkt aus die Bewegung rückwärts: b − a .

Warum ist der Betrag einer Zahl immer positiv?

Der Betrag misst einen Abstand – und Abstände sind in der Mathematik grundsätzlich nicht negativ. Egal ob die Zahl links oder rechts von der Null liegt, ihr Abstand zur Null ist immer eine nicht-negative Zahl. Deshalb gilt für alle ganzen Zahlen: |x| ≥ 0 .

Addition ganzer Zahlen einfach erklärt

Die Addition ganzer Zahlen begegnet dir überall im Alltag: beim Kontostand, beim Thermometer oder beim Spielstand. Ganze Zahlen umfassen alle positiven Zahlen, alle negativen Zahlen und die Null – und sobald du verstehst, wie Betrag, Gegenzahl und die Zahlengerade zusammenspielen, kann dich keine Minus-Zahl mehr aus dem Konzept bringen. In diesem Artikel lernst du Schritt für Schritt, wie du Textanweisungen in Terme umwandelst und fehlende Zahlen in Additionsgleichungen bestimmst.

Schnellantwort

Die Addition ganzer Zahlen beschreibt das Addieren von positiven und negativen Zahlen sowie der Null. Zwei Schlüsselbegriffe helfen dir dabei: Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null auf der Zahlengerade und immer positiv (z. B. $|-7| = 7$ ). Die Gegenzahl erhält man durch Umdrehen des Vorzeichens (z. B. ist die Gegenzahl von $+5$ die Zahl $-5$ ). Mit diesen Werkzeugen kannst du Textaufgaben übersetzen und Gleichungen mit ganzen Zahlen lösen.

Vorwissen

Bevor wir starten, wiederholen wir kurz ein paar Grundlagen:

Ganze Zahlen: Das sind alle positiven Zahlen, alle negativen Zahlen und die Null. Sie haben kein Komma.
- Beispiel: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ sind ganze Zahlen. $1{,}5$ ist keine ganze Zahl.
Zahlengerade: Eine Linie, auf der alle Zahlen geordnet sind. In der Mitte ist die Null. Rechts davon werden die Zahlen größer (positiv), links davon kleiner (negativ).
- Beispiel: Auf der Zahlengerade liegt die $-5$ links von der $-2$ .

Zahlengerade mit positiven und negativen Zahlen

Aufgabentyp 1: Textanweisungen in Terme umwandeln

Manchmal sind Matheaufgaben in Worte verpackt. Um sie zu lösen, müssen wir sie zuerst in die Sprache der Mathematik übersetzen. Zwei wichtige Begriffe dafür sind Betrag und Gegenzahl.

Der Betrag einer Zahl Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null auf der Zahlengerade. Da ein Abstand immer positiv ist, ist der Betrag einer Zahl auch immer positiv (oder Null). Man schreibt senkrechte Striche um die Zahl: $|x|$ .

Beispiel 1: Der Betrag von $-4$ ist $4$ , weil $-4$ vier Schritte von der Null entfernt ist. Man schreibt: $|-4| = 4$ .
Beispiel 2: Der Betrag von $+4$ ist auch $4$ , weil $+4$ ebenfalls vier Schritte von der Null entfernt ist. Man schreibt: $|+4| = 4$ .

Betrag auf der Zahlengerade visualisiert

Die Gegenzahl einer Zahl Die Gegenzahl ist die Zahl, die auf der Zahlengerade auf der gegenüberliegenden Seite der Null liegt, aber den gleichen Abstand hat. Man vertauscht einfach das Vorzeichen.

Beispiel 1: Die Gegenzahl von $+5$ ist $-5$ .
Beispiel 2: Die Gegenzahl von $-3$ ist $+3$ .

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Schlüsselwörter finden: Lies die Anweisung genau durch und markiere die mathematischen Schlüsselwörter wie „Betrag von", „Gegenzahl von" und „addiere".
Term aufstellen: Übersetze die Textteile in mathematische Symbole. Schreibe den Term auf, ohne schon etwas auszurechnen: „Betrag von x" $\to |x|$ ; „Gegenzahl von y" $\to -y$ ; „Addiere A zu B" $\to B + A$ .
Betrag und Gegenzahl berechnen: Löse die Betragsstriche und bestimme die Gegenzahl. Setze diese einfacheren Zahlen in deinen Term ein.
Term ausrechnen: Berechne das Endergebnis der Addition.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Formuliere zu der folgenden Anweisung den passenden Term und berechne anschließend seinen Wert.

Anweisung: Addiere zum Betrag von $-15$ die Gegenzahl von $+10$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Schlüsselwörter finden
Die Schlüsselwörter sind „Betrag von $-15$ ", „Gegenzahl von $+10$ " und „Addiere ... zu ...".
Schritt 2
Term aufstellen
Wir übersetzen die Anweisung in einen mathematischen Term:

$|-15| + (-10)$
3
Schritt 3
Betrag und Gegenzahl berechnen
- Der Betrag von $-15$ ist $15$ , da $|-15| = 15$ .
- Die Gegenzahl von $+10$ ist $-10$ .
Wir setzen diese Werte in den Term ein:

$15 + (-10)$
Schritt 4 · Ergebnis
Term ausrechnen
Wir addieren die beiden Zahlen:

$15 + (-10) = 15 - 10 = 5$

Ergebnis:

Der Term lautet $|-15| + (-10)$ und sein Wert ist $5$ .

Beispiel 2

Aufgabe

Formuliere zu der folgenden Anweisung den passenden Term und berechne anschließend seinen Wert.

Anweisung: Addiere die Gegenzahl von $-50$ zum Betrag von $-20$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Schlüsselwörter finden
Die Schlüsselwörter sind „Gegenzahl von $-50$ ", „Betrag von $-20$ " und „Addiere ... zu ...".
Schritt 2
Term aufstellen
Wir übersetzen die Anweisung in einen mathematischen Term:

$|-20| + (+50)$
3
Schritt 3
Betrag und Gegenzahl berechnen
- Der Betrag von $-20$ ist $20$ , da $|-20| = 20$ .
- Die Gegenzahl von $-50$ ist $+50$ .
Wir setzen diese Werte in den Term ein:

$20 + 50$
Schritt 4 · Ergebnis
Term ausrechnen
Wir addieren die beiden Zahlen:

$20 + 50 = 70$

Ergebnis:

Der Term lautet $|-20| + 50$ und sein Wert ist $70$ .

Beispiel 3

Aufgabe

Dein Kontostand beträgt $-80$ €. Du zahlst einen Betrag ein, der der Gegenzahl von $-100$ € entspricht. Wie lautet der Term und dein neuer Kontostand?

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Schlüsselwörter finden
Die Schlüsselwörter sind „Kontostand beträgt $-80$ €", „einzahlen" (was Addition bedeutet) und „Gegenzahl von $-100$ ".
Schritt 2
Term aufstellen
Wir übersetzen die Situation in einen Term. Der Startwert ist $-80$ . Dazu wird die Gegenzahl von $-100$ addiert.

$-80 + (+100)$
3
Schritt 3
Betrag und Gegenzahl berechnen
- Die Gegenzahl von $-100$ ist $+100$ .
Der Term ist bereits in seiner einfachen Form:

$-80 + 100$
Schritt 4 · Ergebnis
Term ausrechnen
Wir berechnen den neuen Kontostand:

$-80 + 100 = 20$

Ergebnis:

Der Term lautet $-80 + 100$ und der neue Kontostand beträgt $20$ €.

Beispiel 4

Aufgabe

Formuliere zu der folgenden Anweisung den passenden Term und berechne anschließend seinen Wert.

Anweisung: Addiere zum Betrag von $+45$ die Gegenzahl von $+60$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Schlüsselwörter finden
Die Schlüsselwörter sind „Betrag von $+45$ ", „Gegenzahl von $+60$ " und „Addiere ... zu ...".
Schritt 2
Term aufstellen
Wir übersetzen die Anweisung in einen mathematischen Term:

$|+45| + (-60)$
3
Schritt 3
Betrag und Gegenzahl berechnen
- Der Betrag von $+45$ ist $45$ , da $|+45| = 45$ .
- Die Gegenzahl von $+60$ ist $-60$ .
Wir setzen diese Werte in den Term ein:

$45 + (-60)$
Schritt 4 · Ergebnis
Term ausrechnen
Wir addieren die beiden Zahlen:

$45 + (-60) = 45 - 60 = -15$

Ergebnis:

Der Term lautet $|+45| + (-60)$ und sein Wert ist $-15$ .

Beispiel 5

Aufgabe

Formuliere zu der folgenden Anweisung den passenden Term und berechne anschließend seinen Wert.

Anweisung: Addiere die Gegenzahl von $0$ zum Betrag von $-123$ .

Fortschritt

4 / 4

Schritt 1
Schlüsselwörter finden
Die Schlüsselwörter sind „Gegenzahl von $0$ ", „Betrag von $-123$ " und „Addiere ... zu ...".
Schritt 2
Term aufstellen
Wir übersetzen die Anweisung in einen mathematischen Term:

$|-123| + 0$
3
Schritt 3
Betrag und Gegenzahl berechnen
- Der Betrag von $-123$ ist $123$ , da $|-123| = 123$ .
- Die Gegenzahl von $0$ ist $0$ , da Null kein Vorzeichen hat.
Wir setzen diese Werte in den Term ein:

$123 + 0$
Schritt 4 · Ergebnis
Term ausrechnen
Wir addieren die beiden Zahlen:

$123 + 0 = 123$

Ergebnis:

Der Term lautet $|-123| + 0$ und sein Wert ist $123$ .

Aufgabentyp 2: Fehlende Zahlen in Gleichungen finden

Beim Lösen von Problemen mit Addition ganzer Zahlen fehlt manchmal eine Zahl in der Gleichung. Mit der Zahlengerade können wir diese Lücke füllen. Stell dir eine Addition als eine Bewegung vor:

Startpunkt + Bewegung = Endpunkt

Der Startpunkt ist die erste Zahl der Gleichung.
Die Bewegung ist die zweite Zahl. Ein $+$ bedeutet eine Bewegung nach rechts, ein $-$ eine Bewegung nach links.
Der Endpunkt ist das Ergebnis der Gleichung.

Es gibt zwei Fälle:

Die Bewegung ist gesucht: Startpunkt + ? = Endpunkt – Du kennst Start und Ziel. Zeichne einen Pfeil vom Start zum Ziel. Die Länge und Richtung des Pfeils ist die gesuchte Zahl.
Der Startpunkt ist gesucht: ? + Bewegung = Endpunkt – Du kennst die Bewegung und das Ziel. Um den Start zu finden, gehst du vom Ziel aus die Bewegung einfach rückwärts (in die entgegengesetzte Richtung).

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Gleichung analysieren: Stelle fest, was gegeben ist (Startpunkt, Bewegung, Endpunkt) und was gesucht wird.
Zahlengerade skizzieren: Zeichne eine Zahlengerade und markiere die bekannten Werte.
Fehlende Zahl finden – Fall A (Bewegung gesucht): Zeichne einen Pfeil vom Startpunkt zum Endpunkt. Zähle die Schritte (Länge) und bestimme die Richtung (Vorzeichen). Ein Pfeil nach rechts ist $+$ , nach links ist $-$ .
Fehlende Zahl finden – Fall B (Startpunkt gesucht): Gehe vom Endpunkt aus los. Mache die Bewegung rückgängig. Wenn die Bewegung z. B. $+10$ war (10 nach rechts), gehst du jetzt 10 nach links. Der Punkt, an dem du landest, ist der gesuchte Startpunkt.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Aufgabe

Bestimme die fehlende Zahl in der Gleichung: $(-10) + \square = +5$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Gleichung analysieren
- Startpunkt: $-10$
- Bewegung: Gesucht ( $\square$ )
- Endpunkt: $+5$
Schritt 2
Zahlengerade skizzieren
Wir markieren den Startpunkt bei $-10$ und den Endpunkt bei $+5$ .

Zahlengerade mit markiertem Start bei −10 und Ziel bei +5
3
Schritt 3 · Ergebnis
Fehlende Zahl finden (Fall A)
Wir zeichnen einen Pfeil vom Startpunkt ( $-10$ ) zum Endpunkt ( $+5$ ).

Pfeil von −10 nach +5 auf der Zahlengerade

Der Pfeil zeigt nach rechts, also ist die gesuchte Zahl positiv. Wir zählen die Schritte:
- Von $-10$ bis zur $0$ sind es $10$ Schritte.
- Von der $0$ bis zu $+5$ sind es $5$ Schritte.
Insgesamt sind das $10 + 5 = 15$ Schritte nach rechts. Die fehlende Zahl ist also $+15$ .

Ergebnis:

$(-10) + (+15) = +5$

Beispiel 2

Aufgabe

Bestimme die fehlende Zahl in der Gleichung: $\square + (+20) = -5$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Gleichung analysieren
- Startpunkt: Gesucht ( $\square$ )
- Bewegung: $+20$ (20 Schritte nach rechts)
- Endpunkt: $-5$
Schritt 2
Zahlengerade skizzieren
Wir markieren den Endpunkt bei $-5$ .

Zahlengerade mit markiertem Endpunkt bei −5
Schritt 3 · Ergebnis
Fehlende Zahl finden (Fall B)
Um den Startpunkt zu finden, gehen wir vom Endpunkt ( $-5$ ) aus die Bewegung rückwärts. Die Bewegung war $+20$ (20 nach rechts), also gehen wir jetzt $20$ Schritte nach links.

Pfeil von −5 rückwärts 20 Schritte nach links

Wenn wir von $-5$ aus 20 Schritte nach links gehen, landen wir bei:

$-5 - 20 = -25$

Der gesuchte Startpunkt ist also $-25$ .

Ergebnis:

$(-25) + (+20) = -5$

Beispiel 3

Aufgabe

Die Temperatur ist von $+8$ °C auf $-12$ °C gefallen. Stelle die Gleichung auf und bestimme die Temperaturänderung.

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Gleichung analysieren
- Startpunkt: $+8$
- Bewegung: Gesucht ( $\square$ )
- Endpunkt: $-12$
Schritt 2
Zahlengerade skizzieren
Wir markieren den Startpunkt bei $+8$ und den Endpunkt bei $-12$ .

Zahlengerade mit Startpunkt +8 und Endpunkt −12
3
Schritt 3 · Ergebnis
Fehlende Zahl finden (Fall A)
Wir zeichnen einen Pfeil vom Startpunkt ( $+8$ ) zum Endpunkt ( $-12$ ).

Pfeil von +8 nach −12 auf der Zahlengerade

Der Pfeil zeigt nach links, also ist die gesuchte Zahl negativ. Wir zählen die Schritte:
- Von $+8$ bis zur $0$ sind es $8$ Schritte.
- Von der $0$ bis zu $-12$ sind es $12$ Schritte.
Insgesamt sind das $8 + 12 = 20$ Schritte nach links. Die fehlende Zahl ist also $-20$ .

Ergebnis:

Die Temperaturänderung beträgt $-20$ °C. Die Gleichung ist $(+8) + (-20) = -12$ .

Beispiel 4

Aufgabe

Bestimme die fehlende Zahl in der Gleichung: $\square + (-30) = -10$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Gleichung analysieren
- Startpunkt: Gesucht ( $\square$ )
- Bewegung: $-30$ (30 Schritte nach links)
- Endpunkt: $-10$
Schritt 2
Zahlengerade skizzieren
Wir markieren den Endpunkt bei $-10$ .

Zahlengerade mit markiertem Endpunkt bei −10
Schritt 3 · Ergebnis
Fehlende Zahl finden (Fall B)
Um den Startpunkt zu finden, gehen wir vom Endpunkt ( $-10$ ) aus die Bewegung rückwärts. Die Bewegung war $-30$ (30 nach links), also gehen wir jetzt $30$ Schritte nach rechts.

Pfeil von −10 rückwärts 30 Schritte nach rechts

Wenn wir von $-10$ aus 30 Schritte nach rechts gehen, landen wir bei:

$-10 + 30 = +20$

Der gesuchte Startpunkt ist also $+20$ .

Ergebnis:

$(+20) + (-30) = -10$

Beispiel 5

Aufgabe

Bestimme die fehlende Zahl in der Gleichung: $(-15) + \square = -45$ .

Fortschritt

3 / 3

1
Schritt 1
Gleichung analysieren
- Startpunkt: $-15$
- Bewegung: Gesucht ( $\square$ )
- Endpunkt: $-45$
Schritt 2
Zahlengerade skizzieren
Wir markieren den Startpunkt bei $-15$ und den Endpunkt bei $-45$ .

Zahlengerade mit Startpunkt −15 und Endpunkt −45
Schritt 3 · Ergebnis
Fehlende Zahl finden (Fall A)
Wir zeichnen einen Pfeil vom Startpunkt ( $-15$ ) zum Endpunkt ( $-45$ ).

Pfeil von −15 nach −45 auf der Zahlengerade

Der Pfeil zeigt nach links, also ist die gesuchte Zahl negativ. Wir zählen die Schritte: Der Abstand zwischen $-15$ und $-45$ ist $45 - 15 = 30$ .

Es sind also $30$ Schritte nach links. Die fehlende Zahl ist also $-30$ .

Ergebnis:

$(-15) + (-30) = -45$

Wichtige Erkenntnisse

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null und ist immer positiv (z. B. $|-7| = 7$ ).
Die Gegenzahl erhält man durch das Umdrehen des Vorzeichens (z. B. ist die Gegenzahl von $5$ die $-5$ ).
Auf der Zahlengerade bedeutet $+$ eine Bewegung nach rechts und $-$ eine Bewegung nach links.
Wenn der Startpunkt fehlt ( $\square + a = b$ ), rechnest du vom Ende aus rückwärts: $b - a$ .
Wenn die Bewegung fehlt ( $a + \square = b$ ), rechnest du das Ende minus den Start: $b - a$ .

Addition ganzer Zahlen einfach erklärt: Betrag & Gegenzahl

Schnellantwort

Vorwissen

Aufgabentyp 1: Textanweisungen in Terme umwandeln

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Aufgabentyp 2: Fehlende Zahlen in Gleichungen finden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Wichtige Erkenntnisse

Häufige Fragen

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